Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas.
f(x)=\frac{x-1}{x+3} \quad x_{0}=3

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\frac{x-1}{x+3}
no ponto cuja abscissa é x_{0}=3.
Para isso precisamos de dois ingredientes: o ponto de tangência \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) e a derivada f'(x) avaliada em x_{0}, que nos dá o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Calcular o valor de f em x_{0}=3.
f(3)=\frac{3-1}{3+3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Logo o ponto de tangência é \bigl(3,\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 3

Derivar f(x)=\frac{x-1}{x+3} usando a regra do quociente: se u=x-1 e v=x+3, então
f'(x)=\frac{v\,u' - u\,v'}{v^2} =\frac{(x+3)\cdot1 - (x-1)\cdot1}{(x+3)^2} =\frac{4}{(x+3)^2}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=3:
m = f'(3)=\frac{4}{(3+3)^2}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.
Esse é o coeficiente angular da reta tangente. Usando a forma ponto-declive para a reta que passa por \bigl(3,\tfrac{1}{3}\bigr) com inclinação m=\tfrac{1}{9}, temos
y - \frac{1}{3} = \frac{1}{9}(x - 3).
Simplificando, obtemos
y = \frac{1}{9}x.

Resposta

y = \frac{1}{9}x

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