Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: \iint_{R}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y, onde R é o círculo x^{2}+y^{2} \leq 4.
R.: 4 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dx\,dy
onde R é o disco x^{2}+y^{2}\le4, usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar a mudança de variáveis
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
o Jacobiano dx\,dy = r\,dr\,d\theta e os limites 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi.

Passo 2

Em coordenadas polares, a parte x^{2} vira r^{2}\cos^{2}\theta e a parte 2y vira 2r\sin\theta. Assim o integrando fica
x^{2}+2y = r^{2}\cos^{2}\theta + 2r\sin\theta,
e o elemento de área é r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Montamos a integral em r e \theta:
\iint_{R}(x^{2}+2y)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta + 2r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Distribuindo o r, separamos em duas integrais:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta \;+\; \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}2r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.
Na segunda parte, \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0
por simetria, logo esse termo some.

Passo 5

Fica então apenas
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta \;\times\; \int_{0}^{2}r^{3}\,dr.
Sabemos que
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi, \qquad \int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \frac{2^{4}}{4}=4.
Multiplicando, obtemos 4\pi.

Resposta

4\pi

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