Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
F(x, y)=e^x sen y i+e^x cos y j Resp.: f(x, y)=e^x sen y+C1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=l(e^xsin y,;e^xcos yr)
definido em R^2 (que é aberto e simplesmente conexo) e pede para provar que ele é conservativo e encontrar uma função potencial f(x,y).

Passo 2

Para mostrar que F é conservativo em um domínio simplesmente conexo basta verificar que
partialpartial yl(e^xsin yr) ;=; partialpartial xl(e^xcos yr)
Calculando, temos
partialpartial yl(e^xsin yr) =e^xcos y, partialpartial xl(e^xcos yr) =e^xcos y,
logo ambas as derivadas coincidem e F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y) integramos a componente P(x,y)=e^xsin y em relação a x:
f(x,y) =integral e^xsin y,dx =e^xsin y + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Para determinar g(y) usamos a condição
partial fpartial y(x,y) =Q(x,y)=e^xcos y
Mas
partial fpartial y =partialpartial yl(e^xsin y + g(y)r) =e^xcos y + g'(y)
deve ser igual a e^xcos y. Daí g'(y)=0, isto é, g(y)=C constante.

Resposta

A função potencial é
f(x,y)=e^xsin y + C,
para qualquer constante C.

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