Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Resp.:
sen
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido em
(que é aberto e simplesmente conexo) e pede para provar que ele é conservativo e encontrar uma função potencial
.
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo em um domínio simplesmente conexo basta verificar que
Calculando, temos
logo ambas as derivadas coincidem e
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
integramos a componente
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Para determinar
usamos a condição
Mas
deve ser igual a
. Daí
, isto é,
constante.
Resposta
A função potencial é
para qualquer constante
.