Salendo que f^prime(x)=x e^2 x e f(0)=0, calcule f(1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que a derivada de uma função, nesse caso, f^prime(x) = x e^2x, está relacionada com a própria função f(x). Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de f(1), sabendo que f(0) = 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que é o processo inverso da derivação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função f(x) a partir da sua derivada f^prime(x). Para isso, vamos integrar f^prime(x) em relação a x:
f(x) = integral f^prime(x) , dx = integral x e^2x , dx

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x du = dx
  • dv = e^2x , dx v = 12 e^2x
Aplicando a fórmula:
integral x e^2x , dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x , dx = x2 e^2x - 14 e^2x + C
Então, a função f(x) fica:
f(x) = x2 e^2x - 14 e^2x + C

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial f(0) = 0 para encontrar a constante C:
f(0) = 02 e^0 - 14 e^0 + C = 0 - 14 + C = 0
Resolvendo para C:
C = 14
Então, a função completa é:
f(x) = x2 e^2x - 14 e^2x + 14

Passo 5

Agora, vamos calcular f(1) substituindo x = 1 na função encontrada:
f(1) = 12 e^2 - 14 e^2 + 14 = (12 - 14) e^2 + 14 = 14 e^2 + 14
Podemos fatorar 14:
f(1) = 14 (e^2 + 1)

Resposta

O valor de f(1) é dfrace^2 + 14.

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