Dada
, em que
e
são funções duas vezes diferenciáveis, use a Regra da Cadeia e a Regra do Produto para provar que a segunda derivada de
é dada por
Passo 1
O enunciado pede a segunda derivada de
, sabendo que
e
são duas vezes diferenciáveis. Para isso vamos usar duas ferramentas:
- A Regra da Cadeia: se
então
- A Regra do Produto: para duas funções
e ,
Passo 2
Aplicando diretamente a Regra da Cadeia a
obtemos
Passo 3
Reescreva
como produto de
Pela Regra do Produto,
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de
e
.
Pela Regra da Cadeia,
Pela Regra da Cadeia,
e
Substituindo em
dá