Dada F=f circ g, em que f e g são funções duas vezes diferenciáveis, use a Regra da Cadeia e a Regra do Produto para provar que a segunda derivada de F é dada por
F^prime prime(x)=f^prime prime(g(x)) cdot[g^prime(x)]^2+f^prime(g(x)) cdot g^prime prime(x)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de F(x)=fl(g(x)r), sabendo que f e g são duas vezes diferenciáveis. Para isso vamos usar duas ferramentas:
  1. A Regra da Cadeia: se h(x)=f(g(x)) então
h'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)
  1. A Regra do Produto: para duas funções u(x) e v(x),
l(u(x),v(x)r)'=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 2

Aplicando diretamente a Regra da Cadeia a
F(x)=fl(g(x)r)
obtemos
F'(x)=f'l(g(x)r)cdot g'(x)

Passo 3

Reescreva F'(x) como produto de
u(x)=f'l(g(x)r) e v(x)=g'(x)
Pela Regra do Produto,
F''(x)=l[u(x),v(x)r]' =u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de u e v.
Pela Regra da Cadeia,
u'(x)=l(f'(g(x))r)' =f''l(g(x)r)cdot g'(x),
e
v'(x)=g''(x)
Substituindo em F''(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
F''(x) =f''l(g(x)r),g'(x);cdot g'(x) ;+;f'l(g(x)r),g''(x) =f''l(g(x)r)l[g'(x)r]^2 +f'l(g(x)r),g''(x)

Resposta

F''(x)=f''l(g(x)r)l[g'(x)r]^2 +f'l(g(x)r),g''(x)

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