Determine o comprimento da curva dada pelas equações parametricas, do ponto A ao ponto B.
x=3 cos t, y=3 sin t, z=4 t ; A=(3,0,0), B=(3,0,8 pi)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva espacial dada por
x=3cos t, y=3sin t, z=4t
do ponto A=(3,0,0) ao ponto B=(3,0,8pi).
Este é um problema de comprimento de arco de curva paramétrica em R^3. Vamos usar a fórmula
s = integralt1^t2 raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2 + l(tfracdzdtr)^2,dt

Passo 2

Precisamos encontrar os valores de t que geram A e B.
Para A=(3,0,0) temos
3cos t=3,;3sin t=0,;4t=0
que dá t=0.
Para B=(3,0,8pi) temos
3cos t=3,;3sin t=0,;4t=8pi
que dá t=2pi.
Logo, t varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
dxdt = -3sin t, dydt = 3cos t, dzdt=4
O integrando fica
raiz(-3sin t)^2 + (3cos t)^2 + 4^2 = raiz9sin^2 t + 9cos^2 t + 16 = raiz9 + 16 =5

Passo 4

Como o integrando é constante, o comprimento é
s = integral0^2pi 5,dt = 5l[,tr]0^2pi = 5cdot 2pi = 10pi

Resposta

O comprimento da curva é 10pi.

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