Calcul& 2^2 as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
f(x, y)=y^3 ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=y^3lnl(x^2+y^2r)
e que determinemos o domínio de f e o domínio onde as derivadas existem. Vamos usar regras de derivação de produto e cadeia, e lembrar que o logaritmo natural exige argumento positivo.

Passo 2

Para que f(x,y)=y^3ln(x^2+y^2) esteja definido, precisamos ter
x^2+y^2>0,
pois o argumento do ln deve ser positivo. Logo o domínio de f é
Df=(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0

Passo 3

Cálculo de partial f/partial x. Tratando y como constante e aplicando a regra do produto e da cadeia:
partialpartial xl(y^3ln(x^2+y^2)r) =y^3cdot1x^2+y^2cdot 2x =2x,y^3x^2+y^2

Passo 4

Cálculo de partial f/partial y. Agora derivamos em relação a y, usando produto y^3 e ln(x^2+y^2):
partialpartial yl(y^3ln(x^2+y^2)r) =3y^2ln(x^2+y^2)+y^3cdot1x^2+y^2cdot 2y =3y^2ln(x^2+y^2)+2y^4x^2+y^2

Passo 5

As expressões de partial f/partial x e partial f/partial y envolvem divisão por x^2+y^2, que só se anula em (0,0). Como já exigimos x^2+y^2>0, as derivadas existem em todo Df. Portanto o domínio das derivadas coincide com Df.

Resposta

Domínio de f e das derivadas:
(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0
partial fpartial x(x,y) =2x,y^3x^2+y^2, partial fpartial y(x,y) =3y^2ln(x^2+y^2)+2y^4x^2+y^2

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