Sejam os números complexos, z1=1-j ; z2=raiz3+j ; Z3=-1+j raiz3.
Marque todas as alternativas corretas:
z1 cdot z2=2 raiz2(cos -pi12+j sen-pi12)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre números complexos. Precisamos verificar se a multiplicação dos números complexos z1 = 1 - j e z2 = raiz3 + j resulta na expressão dada:
z1 cdot z2 = 2raiz2(cos(-pi12) + j sin(-pi12))
Para isso, vamos multiplicar z1 e z2 e comparar com a expressão fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos usando a forma algébrica:
z1 cdot z2 = (1 - j)(raiz3 + j)
Aplicando a distributiva:
= 1 cdot raiz3 + 1 cdot j - j cdot raiz3 - j cdot j
Sabemos que j^2 = -1 , então:
= raiz3 + j - jraiz3 + 1
Combinando os termos semelhantes:
= (raiz3 + 1) + j(1 - raiz3)
Então, a forma algébrica de z1 cdot z2 é:
z1 cdot z2 = (raiz3 + 1) + j(1 - raiz3)

Passo 3

Agora, vamos transformar o resultado para a forma polar. Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento do número complexo.
Módulo:
|z1 cdot z2| = raiz(raiz3 + 1)^2 + (1 - raiz3)^2
Calculando:
= raiz3 + 2raiz3 + 1 + 1 - 2raiz3 + 3 = raiz8 = 2raiz2
Argumento:
theta = arctan(1 - raiz3raiz3 + 1)
Simplificando a expressão dentro da tangente:
1 - raiz3raiz3 + 1 times raiz3 - 1raiz3 - 1 = (raiz3 - 1 - 3 + raiz3)3 - 1 = 2raiz3 - 42 = raiz3 - 2
Calculando o valor:
theta approx -pi12

Passo 4

Portanto, a forma polar de z1 cdot z2 é:
z1 cdot z2 = 2raiz2(cos(-pi12) + j sin(-pi12))

Resposta

A alternativa apresentada está correta.

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