Sejam os números complexos, z1=1-j ; z2=raiz3+j ; Z3=-1+j raiz3.
Marque todas as alternativas corretas:
z1z2=raiz22(cos 5 pi12+j sen 5 pi12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre números complexos e pede pra gente verificar se uma determinada divisão está correta. A matéria que vamos usar aqui é a Forma Polar dos Números Complexos e operações com eles, como divisão. Vamos precisar lembrar como converter números complexos da forma retangular (a + bj) para a forma polar (r(cosθ + jsenθ)) e como fazer a divisão nessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é cada número complexo:
  • z1 = 1 - j
  • z2 = raiz3 + j
  • z3 = -1 + jraiz3
Mas para resolver essa questão, vamos focar em z1 e z2 mesmo.

Passo 3

Vamos converter z1 e z2 para a forma polar.
Para um número complexo z = a + bj , o módulo r é dado por:
r = raiza^2 + b^2
E o argumento theta é:
theta = arctan(ba)
Para z1 = 1 - j :
  • Módulo:
r1 = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
  • Argumento:
theta1 = arctan(-11) = -pi4
Então, na forma polar:
z1 = raiz2 ( cos(-pi4) + j sin(-pi4) )
Para z2 = raiz3 + j :
  • Módulo:
r2 = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3 + 1 = 2
  • Argumento:
theta2 = arctan(1raiz3) = pi6
Então, na forma polar:
z2 = 2 ( cos(pi6) + j sin(pi6) )

Passo 4

Agora, vamos fazer a divisão z1z2 na forma polar. Quando dividimos dois números complexos na forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:
z1z2 = r1r2 ( cos(theta1 - theta2) + j sin(theta1 - theta2) )
Substituindo os valores que encontramos:
z1z2 = raiz22 ( cos(-pi4 - pi6) + j sin(-pi4 - pi6) )
Simplificando o argumento:
-pi4 - pi6 = -3pi12 - 2pi12 = -5pi12
E como cos(-theta) = cos(theta) e sin(-theta) = -sin(theta) , podemos escrever:
z1z2 = raiz22 ( cos(5pi12) - j sin(5pi12) )

Resposta

A alternativa está quase correta, mas o sinal de j sin está invertido. A expressão correta de z1z2 é:
z1z2 = raiz22 ( cos 5 pi12 - j sin 5 pi12 )
Portanto, a alternativa apresentada está incorreta.

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