Calcule a integral, para a região D:
\iint y^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x d y com D limitada por i) y=\sqrt[3]{x}, y=-\sqrt[3]{x}\(ex=8$)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy
onde a região D é limitada pelas curvas y=\sqrt[3]{x}, y=-\sqrt[3]{x} e pela reta x=8. Este é um problema de integração iterada em coordenadas cartesianas: vamos descrever D como um intervalo em x e, para cada x, um intervalo em y.

Passo 2

Note que as curvas y=\pm\sqrt[3]{x} se encontram em x=0. Como também temos x=8, o domínio é
0 \le x \le 8, \quad -\sqrt[3]{x}\le y\le \sqrt[3]{x}.
Logo podemos escrever
\iint_{D} y^{2}\,\operatorname{sen}(x^{2})\,dx\,dy =\int_{x=0}^{8}\Bigl[\int_{y=-\sqrt[3]{x}}^{\sqrt[3]{x}}y^{2}\,dy\Bigr]\operatorname{sen}(x^{2})\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{-\sqrt[3]{x}}^{\sqrt[3]{x}}y^{2}\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{-\sqrt[3]{x}}^{\sqrt[3]{x}} =\frac{(\sqrt[3]{x})^{3}-(-\sqrt[3]{x})^{3}}{3} =\frac{x-(-x)}{3} =\frac{2x}{3}.
Assim a integral fica
\int_{0}^{8}\frac{2x}{3}\,\operatorname{sen}(x^{2})\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{8}x\,\operatorname{sen}(x^{2})\,dx
use a substituição u=x^{2}, de modo que du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac{du}{2}. Quando x vai de 0 a 8, u vai de 0 a 64. Logo,
\int_{0}^{8}x\,\operatorname{sen}(x^{2})\,dx =\frac12\int_{0}^{64}\operatorname{sen}(u)\,du =\frac12\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{64} =\frac12\bigl(-\cos(64)+\cos(0)\bigr) =\frac{1-\cos(64)}{2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{2}{3} que ficou fora, obtemos
\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\cos(64)}{2} =\frac{1-\cos(64)}{3}.

Resposta

\iint_{D} y^{2}\,\operatorname{sen}(x^{2})\,dx\,dy =\frac{1-\cos(64)}{3}.

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