Sem calculadora. O chamado “triângulo 3-4-5” é um triângulo retângulo com catetos de tamanhos 3 e 4, e hipotenusa de tamanho 5. Neste triângulo, os ângulos agudos são aproximadamente 37^{\circ} e 53^{\circ}. Sabendo disso:
a. Desenhe os eixos x e y no padrão usual (horizontal para a direita e vertical para cima, respectivamente), e esboce os seguintes vetores: \vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j} \quad ; \quad \vec{b}=-15 \hat{i}+20 \hat{j} \quad ; \quad \vec{c}=8 \hat{i}-6 \hat{j} \quad ; \quad \vec{d}=-2 \hat{i}-\frac{3}{2} \hat{j} \quad.
Determine, para cada um destes vetores: o módulo; e o ângulo que faz com o eixo x positivo, considerando os ângulos entre -180^{\circ} e 180^{\circ}.
b. Calcule o vetor \vec{e}=-3 \vec{a}+2 \vec{b}+5 \vec{c}+\hat{j}. Calcule então seu módulo e o ângulo que faz com o eixo x positivo.
Passo 1
O enunciado pede para cada vetor \vec{a}=3\,\hat\imath+4\,\hat\jmath, \vec{b}=-15\,\hat\imath+20\,\hat\jmath, \vec{c}=8\,\hat\imath-6\,\hat\jmath, \vec{d}=-2\,\hat\imath-\tfrac32\,\hat\jmath
calcular (i) o módulo pela norma euclidiana e (ii) o ângulo \theta que faz com o eixo x positivo, usando
ajustando o valor de \theta ao quadrante correto (entre -180^\circ e 180^\circ).
Depois, em (b), formar \vec{e}=-3\vec{a}+2\vec{b}+5\vec{c}+\hat\jmath e repetir o cálculo de módulo e ângulo.
a. \|\vec{a}\|=5,\;\theta_a=53^\circ \|\vec{b}\|=25,\;\theta_b=127^\circ \|\vec{c}\|=10,\;\theta_c=-37^\circ \|\vec{d}\|=2{,}5,\;\theta_d=-143^\circ b. \vec{e}=(1,-1),\;\|\vec{e}\|=\sqrt{2}\approx1{,}414,\;\theta_e=-45^\circ.