A definição de ângulo se dá pela razão do arco s compreendido pelo ângulo numa circunferência pelo raio r desta, sendo que o fator nesta razão é igual a 1 para medida do ângulo em radianos. Ou seja:
\theta:=\frac{s}{r} \quad(\mathrm{rad})
a. Sabendo que \pi \mathrm{rad}=180^{\circ} :
i. Determine o fator que deve multiplicar a razão s / r para se escrever a definição de ângulo medido em graus.
ii. Calcule o valor de 1 rad com três algarismos significativos.
b. Qual a dimensão de ângulo?
c. Determine a conversão de rpm (rotações por minuto) para rad/s.

Passo 1

O enunciado trata de conversão entre radianos e graus a partir da definição
\theta = \frac{s}{r}\quad(\mathrm{rad}),
pede (a.i) o fator para escrever essa definição em graus, (a.ii) o valor de 1 rad em graus com três algarismos significativos, (b) a dimensão de ângulo e (c) a conversão de rpm para rad/s.

Passo 2

Para medir o ângulo em graus, sabemos que
\pi\\ \mathrm{rad} = 180^\circ.
Logo, se \theta = \tfrac{s}{r} em radianos, em graus basta multiplicar por
\frac{180^\circ}{\pi\\ \mathrm{rad}}.

Passo 3

Para obter o valor de 1 rad em graus, fazemos
1\\ \mathrm{rad} \times \frac{180^\circ}{\pi\\ \mathrm{rad}} = \frac{180}{\pi}^\circ \approx 57,3^\circ
(com três algarismos significativos).

Passo 4

A dimensão de ângulo é dada por comprimento sobre comprimento, ou seja é uma grandeza puramente adimensional (sem dimensão).

Passo 5

Uma rotação completa corresponde a 2\pi rad e um minuto a 60 s. Assim,
1\\ \mathrm{rpm} = \frac{2\pi\\ \mathrm{rad}}{60\\ \mathrm{s}} = \frac{\pi}{30}\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

i. Fator de conversão para graus: \displaystyle\frac{180^\circ}{\pi\\ \mathrm{rad}}.
ii. 1 rad \approx 57,3^\circ (três algarismos significativos).
b. Ângulo é adimensional (sem dimensão).
c. 1\\ \mathrm{rpm} = \dfrac{\pi}{30}\\ \mathrm{rad/s}.

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