Quando calculamos o \lim _{x \rightarrow p} f(x), consideramos valores de x que estão próximos de p, mas não são iguais a p.

Passo 1

O enunciado afirma que, ao calcular \lim_{x\to p} f(x), consideram-se valores de x que estão próximos de p, mas não são iguais a p. Vou esclarecer o que isso quer dizer e por que é assim, listar o que a afirmação exige explicar e quais pontos vou cobrir:
  • Verificar se a afirmação é correta (sim ou não).
  • Explicar intuitivamente por que se exclui o ponto x=p do cálculo do limite.
  • Apresentar a definição formal de limite (epsilon–delta) mostrando explicitamente a exclusão x\neq p.
  • Dar exemplos concretos (álgebraicos e por sequência) que mostrem casos em que o limite existe mesmo com f(p) diferente ou mesmo sem f(p) estar definido.
  • Mostrar exemplos onde o limite não existe (caso de limites laterais diferentes).
  • Dar uma pequena dica prática para a prova.

Passo 2

Intuição simples e direta: o limite \lim_{x\to p} f(x) trata do comportamento de f(x) quando x se aproxima de p. A ideia é: imagine caminhar em direção ao ponto p pela reta dos x; o limite pergunta “para qual valor os y=f(x) vão quando eu chego cada vez mais perto de p?” Essa caminhada NÃO precisa necessariamente passar pelo ponto x=p; importa só o que acontece arbitrariamente perto dele. Por isso falamos "próximos de p, mas não iguais a p". O valor de f(p) pode existir e ser igual ao limite, ou existir e ser diferente, ou sequer existir; o limite é uma questão do comportamento ao redor, não do valor no ponto.

Passo 3

Definição formal (a parte que prova que realmente excluímos x=p):
\text{Dizemos que }\lim_{x\to p} f(x)=L\text{ quando, para todo }\varepsilon>0,\text{ existe }\delta>0\text{ tal que }
0<|x-p|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Note com atenção o 0<|x-p| dentro da hipótese: isso significa exatamente que estamos considerando apenas pontos x diferentes de p (mas dentro da distância \delta). O motivo formal é que o limite descreve o comportamento quando x aproxima p, e não a igualdade em p. Portanto a exclusão x=p está dentro da própria definição.

Passo 4

Exemplo algébrico clássico (buraco removível): considere a função
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] 0, & x=1. \end{cases}
Para x\neq 1 podemos simplificar
\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,
logo, para todo x\neq 1 vale f(x)=x+1. Assim
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (x+1)=2.
Repare que aqui f(1)=0 foi escolhido arbitrariamente; ainda assim o limite \lim_{x\to 1} f(x) é \,2. Isso mostra na prática que o valor de f(p) não influencia o limite: o que importa é o comportamento de f(x) para x próximos de p com x\neq p.]

Passo 5

Exemplo com prova epsilon–delta simples (para fixar a ideia de exclusão): tome f(x)=2x e p=3. Espera-se \lim_{x\to 3} f(x)=6. Demonstração:
Queremos mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que 0<|x-3|<\delta implica |f(x)-6|<\varepsilon.
Calcule
|f(x)-6|=|2x-6|=2|x-3|.
Se escolhermos \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}, então 0<|x-3|<\delta implica
|f(x)-6|=2|x-3|<2\delta=2\cdot\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Aqui a condição 0<|x-3| garante que estamos falando de x diferentes de 3; o argumento é feito excluindo x=3, como exige a definição. Isso mostra concretamente como o limite é uma propriedade do entorno, não do ponto.

Passo 6

Visão por sequências (outra maneira útil em prova): \lim_{x\to p} f(x)=L se e somente se para toda sequência (x_{n}) com x_{n}\neq p e x_{n}\to p vale f(x_{n})\to L. A exigência x_{n}\neq p em cada termo da sequência reforça a ideia: só interessa o comportamento quando x está próximo, nunca o próprio ponto. Essa abordagem é prática para construir contraexemplos: basta achar duas sequências x_{n}\to p e y_{n}\to p tais que f(x_{n}) e f(y_{n}) convergem para limites diferentes; então \lim_{x\to p} f(x) não existe.

Passo 7

Exemplo onde limite não existe por limites laterais diferentes (para ver por que checar os dois lados é importante): defina
f(x)=\begin{cases} -1, & x<0,\\[4pt] 1, & x>0. \end{cases}
Aqui, ao aproximar 0 pela esquerda obtemos -1 e à direita obtemos 1. Então os limites laterais são
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1,\qquad \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1,
sendo diferentes, logo \lim_{x\to 0} f(x) não existe. De novo, o valor (ou ausência de valor) em x=0 não altera esse fato: o problema é o comportamento de cada lado de 0.]

Passo 8

Resumo prático e dicas para a prova (estilo amigo incentivador):
  • Sim: ao calcular \lim_{x\to p} f(x) considera-se x arbitrariamente próximos de p com x\neq p. O valor de f(p) é irrelevante para o limite.
  • Em exercícios, primeiro calcule o limite a partir da simplificação/álgebra ou usando tabelas de limites; só depois verifique f(p) se a questão pedir continuidade.
  • Verifique limites laterais \lim_{x\to p^-} e \lim_{x\to p^+} quando houver possíveis diferenças. Se coincidirem, o limite existe e é esse valor.
  • Use a definição epsilon–delta quando pedirem justificativa formal; em muitos exercícios de prova, argumentos algébricos, sequências ou limites laterais são suficientes.
  • Respire fundo: entender que o limite olha só ao redor (não ao ponto) é uma das primeiras e mais úteis intuições — vale muito na prova.

Resposta

Sim. Ao calcular \lim_{x\to p} f(x) consideram-se valores de x arbitrariamente próximos de p com x\neq p; o valor de f(p) não entra na definição do limite.

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