Quando calculamos o \lim _{x \rightarrow p} f(x), consideramos valores de x que estão próximos de p, mas não são iguais a p.
Passo 1
O enunciado afirma que, ao calcular \lim_{x\to p} f(x), consideram-se valores de x que estão próximos de p, mas não são iguais a p. Vou esclarecer o que isso quer dizer e por que é assim, listar o que a afirmação exige explicar e quais pontos vou cobrir:
Verificar se a afirmação é correta (sim ou não).
Explicar intuitivamente por que se exclui o ponto x=p do cálculo do limite.
Apresentar a definição formal de limite (epsilon–delta) mostrando explicitamente a exclusão x\neq p.
Dar exemplos concretos (álgebraicos e por sequência) que mostrem casos em que o limite existe mesmo com f(p) diferente ou mesmo sem f(p) estar definido.
Mostrar exemplos onde o limite não existe (caso de limites laterais diferentes).
Dar uma pequena dica prática para a prova.
Passo 2
Intuição simples e direta: o limite \lim_{x\to p} f(x) trata do comportamento de f(x) quando x se aproxima de p. A ideia é: imagine caminhar em direção ao ponto p pela reta dos x; o limite pergunta “para qual valor os y=f(x) vão quando eu chego cada vez mais perto de p?” Essa caminhada NÃO precisa necessariamente passar pelo ponto x=p; importa só o que acontece arbitrariamente perto dele. Por isso falamos "próximos de p, mas não iguais a p". O valor de f(p) pode existir e ser igual ao limite, ou existir e ser diferente, ou sequer existir; o limite é uma questão do comportamento ao redor, não do valor no ponto.
Passo 3
Definição formal (a parte que prova que realmente excluímos x=p):
\text{Dizemos que }\lim_{x\to p} f(x)=L\text{ quando, para todo }\varepsilon>0,\text{ existe }\delta>0\text{ tal que }
Note com atenção o 0<|x-p| dentro da hipótese: isso significa exatamente que estamos considerando apenas pontos x diferentes de p (mas dentro da distância \delta). O motivo formal é que o limite descreve o comportamento quando x aproxima p, e não a igualdade em p. Portanto a exclusão x=p está dentro da própria definição.
Passo 4
Exemplo algébrico clássico (buraco removível): considere a função
Repare que aqui f(1)=0 foi escolhido arbitrariamente; ainda assim o limite \lim_{x\to 1} f(x) é \,2. Isso mostra na prática que o valor de f(p) não influencia o limite: o que importa é o comportamento de f(x) para x próximos de p com x\neq p.]
Passo 5
Exemplo com prova epsilon–delta simples (para fixar a ideia de exclusão): tome f(x)=2x e p=3. Espera-se \lim_{x\to 3} f(x)=6. Demonstração:
Queremos mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que 0<|x-3|<\delta implica |f(x)-6|<\varepsilon.
Calcule
|f(x)-6|=|2x-6|=2|x-3|.
Se escolhermos \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}, então 0<|x-3|<\delta implica
Aqui a condição 0<|x-3| garante que estamos falando de x diferentes de 3; o argumento é feito excluindo x=3, como exige a definição. Isso mostra concretamente como o limite é uma propriedade do entorno, não do ponto.
Passo 6
Visão por sequências (outra maneira útil em prova): \lim_{x\to p} f(x)=L se e somente se para toda sequência (x_{n}) com x_{n}\neq p e x_{n}\to p vale f(x_{n})\to L. A exigência x_{n}\neq p em cada termo da sequência reforça a ideia: só interessa o comportamento quando x está próximo, nunca o próprio ponto. Essa abordagem é prática para construir contraexemplos: basta achar duas sequências x_{n}\to p e y_{n}\to p tais que f(x_{n}) e f(y_{n}) convergem para limites diferentes; então \lim_{x\to p} f(x) não existe.
Passo 7
Exemplo onde limite não existe por limites laterais diferentes (para ver por que checar os dois lados é importante): defina
sendo diferentes, logo \lim_{x\to 0} f(x) não existe. De novo, o valor (ou ausência de valor) em x=0 não altera esse fato: o problema é o comportamento de cada lado de 0.]
Passo 8
Resumo prático e dicas para a prova (estilo amigo incentivador):
Sim: ao calcular \lim_{x\to p} f(x) considera-se x arbitrariamente próximos de p com x\neq p. O valor de f(p) é irrelevante para o limite.
Em exercícios, primeiro calcule o limite a partir da simplificação/álgebra ou usando tabelas de limites; só depois verifique f(p) se a questão pedir continuidade.
Verifique limites laterais \lim_{x\to p^-} e \lim_{x\to p^+} quando houver possíveis diferenças. Se coincidirem, o limite existe e é esse valor.
Use a definição epsilon–delta quando pedirem justificativa formal; em muitos exercícios de prova, argumentos algébricos, sequências ou limites laterais são suficientes.
Respire fundo: entender que o limite olha só ao redor (não ao ponto) é uma das primeiras e mais úteis intuições — vale muito na prova.
Resposta
Sim. Ao calcular \lim_{x\to p} f(x) consideram-se valores de x arbitrariamente próximos de p com x\neq p; o valor de f(p) não entra na definição do limite.