Sejam P=P(x, y, z), Q=Q(x, y, z) e R=R(x, y, z) campos escalares. Dados o vetor posição \overrightarrow{\mathbf{r}}=x \hat{\imath}+y \hat{\jmath}+z \hat{k} e sabendo que P \hat{\imath}+Q \hat{\jmath}+R \hat{k}=\overrightarrow{\mathbf{u}} \times \overrightarrow{\mathbf{r}}, onde \overrightarrow{\mathbf{u}} é um vetor constante, mostre que
\int_{C} P d x+Q d y+R d z=2 \iint_{S} \overrightarrow{\mathbf{u}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d S

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei todas estas do enunciado):
  • P=P(x,y,z),\;Q=Q(x,y,z),\;R=R(x,y,z) são campos escalares.
  • O vetor posição é \overrightarrow{\mathbf{r}}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}.
  • Está definido \,P\hat{\imath}+Q\hat{\jmath}+R\hat{k}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}}\,, onde \overrightarrow{\mathbf{u}} é um vetor constante.
  • A integral que aparece no enunciado é a integral de linha sobre uma curva C: \int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},onde \mathbf{F}=P\hat{\imath}+Q\hat{\jmath}+R\hat{k}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}}.
  • A curva C é a fronteira de uma superfície S (ou seja C=\partial S) e a orientação é compatível com a normal unitária \hat{\mathbf{n}} segundo a regra da mão direita (essa hipótese de orientação é necessária para aplicar o teorema que será usado).
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que \int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=2\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.

Passo 2

Vou transformar a integral de linha em uma integral de superfície usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz o seguinte (aqui explico o que cada símbolo significa):
  • Para um campo vetorial suave \mathbf{F} definido numa vizinhança de S com fronteira C orientada compativelmente, \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.
  • Aqui \nabla é o operador nabla \nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z).
  • \nabla\times\mathbf{F} é o rotacional (curl) de \mathbf{F} e \hat{\mathbf{n}} é a normal unitária de S. O produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}} é então integrado sobre S.
Aplicando isso ao nosso caso, obtemos
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint_{S}\big(\nabla\times(\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}})\big)\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.
Portanto o problema reduz-se a calcular \nabla\times(\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}}).

Passo 3

Usarei a identidade vetorial para o rotacional de um produto vetorial. A identidade é (explico cada termo):
\nabla\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{a}(\nabla\cdot\mathbf{b})-\mathbf{b}(\nabla\cdot\mathbf{a})+(\mathbf{b}\cdot\nabla)\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot\nabla)\mathbf{b},
onde:
  • \nabla\cdot\mathbf{b} é a divergência de \mathbf{b}.
  • (\mathbf{b}\cdot\nabla)\mathbf{a} significa aplicar o operador direcional \mathbf{b}\cdot\nabla=b_x\partial_x+b_y\partial_y+b_z\partial_z componente a componente sobre \mathbf{a}.
No nosso caso \mathbf{a}=\overrightarrow{\mathbf{u}} (vetor constante) e \mathbf{b}=\overrightarrow{\mathbf{r}}. Substituindo na identidade:
\nabla\times(\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}}) =\overrightarrow{\mathbf{u}}(\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{r}}) -\overrightarrow{\mathbf{r}}(\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{u}}) +(\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathbf{u}} -(\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathbf{r}}.
Agora simplifico cada termo, lembrando que \overrightarrow{\mathbf{u}} é constante (não depende de x,y,z).

Passo 4

Calculo dos termos separados:
  1. Divergência de \overrightarrow{\mathbf{r}}:
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{r}}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
  1. Divergência de \overrightarrow{\mathbf{u}}: como \overrightarrow{\mathbf{u}} é constante,
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{u}}=0.
  1. (\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathbf{u}}: aqui \overrightarrow{\mathbf{u}} é constante, então todas as derivadas parciais de suas componentes são zero, logo
(\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathbf{u}}=\mathbf{0}.
  1. (\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathbf{r}}: para ver isso em componentes, escreva \overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_x,u_y,u_z). Então
(\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathbf{r}} =(u_x\partial_x+u_y\partial_y+u_z\partial_z)(x,y,z).
Aplicando componente a componente obtemos
(\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathbf{r}}=(u_x,u_y,u_z)=\overrightarrow{\mathbf{u}}.
(Essa é uma observação útil: o operador direcional de \overrightarrow{\mathbf{u}} sobre as componentes x,y,z devolve exatamente os componentes de \overrightarrow{\mathbf{u}}.)
Agora reúno os termos na identidade do Passo 3:
\nabla\times(\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}}) =\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot 3 - \overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot 0 + \mathbf{0} - \overrightarrow{\mathbf{u}} =3\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{u}}=2\overrightarrow{\mathbf{u}}.
Portanto o rotacional é a constante vetorial 2\overrightarrow{\mathbf{u}}.

Passo 5

Substituo o resultado no Teorema de Stokes:
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\iint_{S}\big(\nabla\times(\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}})\big)\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS =\iint_{S}\big(2\overrightarrow{\mathbf{u}}\big)\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.
Como 2 é constante, sai da integral:
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz =2\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.
Observação prática: a igualdade vale quando a orientação de C é compatível com \hat{\mathbf{n}} pela regra da mão direita; essa foi a hipótese que explicitamos no Passo 1.

Resposta

\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=2\iint_{S}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS

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