Sejam
e
campos escalares. Dados o vetor posição
e sabendo que
, onde
é um vetor constante, mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei todas estas do enunciado):
-
são campos escalares. - O vetor posição é
. - Está definido
, onde é um vetor constante. - A integral que aparece no enunciado é a integral de linha sobre uma curva
: onde . - A curva
é a fronteira de uma superfície (ou seja ) e a orientação é compatível com a normal unitária segundo a regra da mão direita (essa hipótese de orientação é necessária para aplicar o teorema que será usado).
O que o enunciado pede:
- Mostrar que
Passo 2
Vou transformar a integral de linha em uma integral de superfície usando o Teorema de Stokes. O Teorema de Stokes diz o seguinte (aqui explico o que cada símbolo significa):
- Para um campo vetorial suave
definido numa vizinhança de com fronteira orientada compativelmente, - Aqui
é o operador nabla . -
é o rotacional (curl) de e é a normal unitária de . O produto escalar é então integrado sobre .
Aplicando isso ao nosso caso, obtemos
Portanto o problema reduz-se a calcular
.
Passo 3
Usarei a identidade vetorial para o rotacional de um produto vetorial. A identidade é (explico cada termo):
onde:
-
é a divergência de . -
significa aplicar o operador direcional componente a componente sobre .
No nosso caso
(vetor constante) e
. Substituindo na identidade:
Agora simplifico cada termo, lembrando que
é constante (não depende de
).
Passo 4
Calculo dos termos separados:
- Divergência de
:
- Divergência de
: como é constante,
-
: aqui é constante, então todas as derivadas parciais de suas componentes são zero, logo
-
: para ver isso em componentes, escreva . Então
Aplicando componente a componente obtemos
(Essa é uma observação útil: o operador direcional de
sobre as componentes
devolve exatamente os componentes de
.)
Agora reúno os termos na identidade do Passo 3:
Portanto o rotacional é a constante vetorial
.
Passo 5
Substituo o resultado no Teorema de Stokes:
Como
é constante, sai da integral:
Observação prática: a igualdade vale quando a orientação de
é compatível com
pela regra da mão direita; essa foi a hipótese que explicitamos no Passo 1.