Calculando a antiderivada de integral sen x-cos x d x encontraremos

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (ou integral) de sin x - cos x em relação a x. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos básicos de integrais no cálculo diferencial, especificamente as integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, facilitando o cálculo:
integral (sin x - cos x) , dx = integral sin x , dx - integral cos x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de sin x:
    Sabemos que a integral de sin x em relação a x é:
integral sin x , dx = -cos x + C1
Aqui, C1 é uma constante de integração.
  1. Integral de cos x:
    Já a integral de cos x em relação a x é:
integral cos x , dx = sin x + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 4

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão original, temos:
integral (sin x - cos x) , dx = (-cos x + C1) - (sin x + C2)
Simplificando os termos:
- cos x - sin x + (C1 - C2)
Como C1 e C2 são constantes qualquer, a diferença entre elas também é uma constante. Podemos simplificar para C.

Resposta

A antiderivada de sin x - cos x é:
- cos x - sin x + C
Onde C é a constante de integração.

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