Calculando a integral integral0^1 x^2 e^x^3 d x pelo método da integração por partes, teremos

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de integral0^1 x^2 e^x^3 , dx usando o método da integração por partes. A integração por partes é uma técnica que ajuda a resolver integrais de produtos de funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da expressão será u e qual será dv .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar aplicar a integração por partes diretamente. Escolheremos:
u = x^2 e dv = e^x^3 , dx
Isso significa que precisamos encontrar du e v .

Passo 3

Calculando du e v :
du = 2x , dx
Para encontrar v , precisamos integrar dv :
v = integral e^x^3 , dx
No entanto, aqui percebemos que a integral de e^x^3 em relação a x não é uma função elementar, o que complica bastante o uso da integração por partes nesse caso.

Passo 4

Como a integração por partes não está facilitando a resolução, vamos optar por um método mais simples: a substituição. Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral.
Escolhemos:
t = x^3
Diferenciando ambos os lados:
dt = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = dt3

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
integral0^1 x^2 e^x^3 , dx = integralt(0)^t(1) e^t cdot dt3
Calculando os novos limites de integração:
t(0) = 0^3 = 0 e t(1) = 1^3 = 1
Então, a integral fica:
13 integral0^1 e^t , dt

Passo 6

Integrando e^t em relação a t :
13 [ e^t ]0^1 = 13 ( e^1 - e^0 ) = 13 (e - 1)

Resposta

A integral vale e - 13 .

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