Calculando a integral integral0^1 3 x^2 e^x^3 d x pelo método da integração por partes, teremos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral integral0^1 3x^2 e^x^3 dx e vamos resolver usando o método da substituição. Primeiro, vamos entender que precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução. Nesse caso, vamos focar na expressão x^3 que está no expoente.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = x^3. Isso significa que precisamos encontrar du em termos de dx.
Calculando a derivada de u em relação a x:
du = ddx(x^3) dx = 3x^2 dx
Percebemos que 3x^2 dx está presente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
integral0^1 3x^2 e^x^3 dx = integralu(0)^u(1) e^u du
Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando x = 0, u = 0^3 = 0
  • Quando x = 1, u = 1^3 = 1
Então, a integral fica:
integral0^1 e^u du

Passo 4

Agora, integrar e^u em relação a u é bem direto:
integral e^u du = e^u + C
Como estamos calculando uma integral definida, podemos aplicar os limites de integração:
e^u |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

A integral integral0^1 3x^2 e^x^3 dx é igual a e - 1.

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