Use o Teorema de Stokes para calcular
.
,
é a parte do paraboloide
que está à direita do plano
, orientada na direção do plano
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e é a parte do paraboloide
para
, orientada segundo o plano
.
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que transforma esse integral de superfície num integral de linha sobre .
e
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que transforma esse integral de superfície num integral de linha sobre
Passo 2
A curva
é a interseção de
com o plano
. Substituindo em
obtemos
ou seja, a circunferência unitária no plano
.
Passo 3
Como a superfície está orientada segundo o plano
, o vetor normal aponta para
. Pela regra da mão direita, isso faz com que
seja percorrida de forma contrária ao relógio vista de
.
Logo podemos parametrizar
Logo podemos parametrizar
e
Passo 4
Avaliamo
sobre
: em
temos
Então
e
Passo 5
Pela Stokes,
Usando a identidade de redução ou sabendo que
,