Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S.
F(x, y, z)=y z^3 i+sen(x y z) j+x^3 k,
S é a parte do paraboloide y=1-x^2-z^2 que está à direita do plano x z, orientada na direção do plano x z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaSrotFcdot dS
onde F(x,y,z)=yz^3,i+sen(xyz),j+x^3,k
e S é a parte do paraboloide y=1-x^2-z^2 para y>=0, orientada segundo o plano xz.
O conteúdo é o Teorema de Stokes, que transforma esse integral de superfície num integral de linha sobre partial S.

Passo 2

A curva partial S é a interseção de S com o plano y=0. Substituindo em y=1-x^2-z^2=0 obtemos
x^2+z^2=1, y=0,
ou seja, a circunferência unitária no plano xz.

Passo 3

Como a superfície está orientada segundo o plano xz, o vetor normal aponta para ,y>0. Pela regra da mão direita, isso faz com que partial S seja percorrida de forma contrária ao relógio vista de y>0.
Logo podemos parametrizar
r(phi)=(cosphi,,0,,sinphi), phiin[0,2pi],
e
dr=(-sinphi,,0,,cosphi),dphi

Passo 4

Avaliamo F sobre partial S: em y=0 temos
yz^3=0, xyz=0implies sen(xyz)=0, x^3=cos^3phi
Então
F(r(phi))=(0,,0,,cos^3phi),
e
Fcdot dr =cos^3phicdotcosphi,dphi =cos^4phi,dphi

Passo 5

Pela Stokes,
integral duplaSrotFcdot dS =ointpartial SFcdot dr =integral0^2picos^4phi,dphi
Usando a identidade de redução ou sabendo que
integral0^2picos^4phi,dphi=tfrac3pi4,

Resposta

integral duplaSrotFcdot dS =3pi4

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