Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e a superfície S.
F(x, y, z)=x y i+y z j+x z k,
S é o hemisfério z=raiza^2-x^2-y^2, orientado ascendentemente

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema de Stokes funciona para o campo vetorial F(x, y, z) = x y i + y z j + x z k e para a superfície S que é o hemisfério z = raiza^2 - x^2 - y^2, orientado para cima. O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de F com a integral de linha de F ao redor da borda de S. Vamos precisar calcular essas integrais e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
integralS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Isso significa que a integral do rotacional de F sobre a superfície S é igual à integral de linha de F ao longo da curva que delimita S. Nosso objetivo é calcular ambos os lados dessa igualdade.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o rotacional de F. O rotacional, ou nabla times F, é dado por:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x y & y z & x z
Calculando o determinante:
nabla times F = ( partial (x z)partial y - partial (y z)partial z ) i - ( partial (x z)partial x - partial (x y)partial z ) j + ( partial (y z)partial x - partial (x y)partial y ) k
Simplificando as derivadas:
nabla times F = (0 - y) i - (z - 0) j + (0 - x) k = -y i - z j - x k

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de superfície do rotacional de [\mathbf{F}) sobre . Vamos escolher a parametrização adequada para o hemisfério . Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar como:
Onde a (para cobrir apenas o hemisfério superior) e varia de a .
O vetor diferencial de área para uma superfície parametrizada é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície. No caso do hemisfério orientado para cima, é na direção radial, ou seja, .
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular (nabla times F) cdot dS:
(nabla times F) cdot dS = (-y i - z j - x k) cdot a (x i + y j + z k) sin theta , dtheta , dphi
Fazendo o produto escalar:
= a (-y x - z y - x z) sin theta , dtheta , dphi
Simplificando:
= -a (x y + y z + x z) sin theta , dtheta , dphi
Agora, substituindo as parametrizações de x, y, e z:
x = a sin theta cos phi y = a sin theta sin phi z = a cos theta
Então,
x y = a^2 sin^2 theta cos phi sin phi y z = a^2 sin theta sin phi cos theta x z = a^2 sin theta cos phi cos theta
Substituindo de volta:
(nabla times F) cdot dS = -a (a^2 sin^2 theta cos phi sin phi + a^2 sin theta sin phi cos theta + a^2 sin theta cos phi cos theta) sin theta , dtheta , dphi
Fatorando a^3:
= -a^3 (sin^2 theta cos phi sin phi + sin theta sin phi cos theta + sin theta cos phi cos theta) sin theta , dtheta , dphi

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão sobre theta de 0 a pi/2 e phi de 0 a 2pi:
integral0^2pi integral0^pi/2 -a^3 (sin^2 theta cos phi sin phi + sin theta sin phi cos theta + sin theta cos phi cos theta) sin theta , dtheta , dphi
Vamos separar a integral em três partes:
  1. -a^3 integral0^2pi integral0^pi/2 sin^3 theta cos phi sin phi , dtheta , dphi
  2. -a^3 integral0^2pi integral0^pi/2 sin^2 theta sin phi cos theta , dtheta , dphi
  3. -a^3 integral0^2pi integral0^pi/2 sin^2 theta cos phi cos theta , dtheta , dphi
Vamos analisar cada uma:
Primeira Integral:
integral0^2pi cos phi sin phi , dphi = 12 integral0^2pi sin 2phi , dphi = 0
Segunda Integral:
integral0^2pi sin phi , dphi = 0
Terceira Integral:
integral0^2pi cos phi , dphi = 0
Portanto, todas as três integrais são zero. Logo,
integralS (nabla times F) cdot dS = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha [\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}) ao redor da borda de . A borda de é o círculo , . Podemos parametrizar essa curva como:
Onde a .
O vetor diferencial é dado por:

Passo 8

Agora, vamos calcular F cdot dr:
Como z=0 na curva, F fica:
F = x y i + y z j + x z k = x y i + 0 j + 0 k = x y i
Então,
F cdot dr = (x y i) cdot (-a sin phi i + a cos phi j) dphi = -a x y sin phi , dphi
Substituindo x = a cos phi e y = a sin phi:
= -a (a cos phi)(a sin phi) sin phi , dphi = -a^3 cos phi sin^2 phi , dphi

Passo 9

Agora, vamos integrar isso de phi = 0 a phi = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = -a^3 integral0^2pi cos phi sin^2 phi , dphi
Vamos resolver essa integral:
Usando a identidade sin^2 phi = 1 - cos 2phi2:
= -a^3 integral0^2pi cos phi ( 1 - cos 2phi2 ) dphi = -a^32 integral0^2pi cos phi - cos phi cos 2phi , dphi
Separando as integrais:
= -a^32 ( integral0^2pi cos phi , dphi - integral0^2pi cos phi cos 2phi , dphi )
Sabemos que:
integral0^2pi cos phi , dphi = 0
E para a segunda integral, usamos a identidade:
cos phi cos 2phi = cos phi + cos 3phi2
Então,
integral0^2pi cos phi cos 2phi , dphi = 12 ( integral0^2pi cos phi , dphi + integral0^2pi cos 3phi , dphi ) = 0
Portanto,
ointpartial S F cdot dr = 0

Resposta

Como tanto a integral de superfície do rotacional de F sobre S quanto a integral de linha de F ao redor da borda de S resultaram em zero, concluímos que o Teorema de Stokes é válido para o campo vetorial dado e para a superfície especificada.

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