Calculando distâncias, mostre que o triângulo A B C
é isósceles, se A=(3,-1,2), B=(0,-4,2) e C=(-3,2,1)

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(3,-1,2), B=(0,-4,2) e C=(-3,2,1) em R^3 e pede para mostrar que o triângulo ABC é isósceles. Para isso, usaremos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
d(P,Q)=raiz(xQ-xP)^2+(yQ-yP)^2+(zQ-zP)^2

Passo 2

Calculamos a distância AB. O vetor AB é
AB=B-A=(0-3,,-4-(-1),,2-2)=(-3,,-3,,0),
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AB=|AB|=raiz(-3)^2+(-3)^2+0^2=raiz18=3raiz2

Passo 3

Agora calculamos AC e BC. Primeiro
AC=C-A=(-3-3,,2-(-1),,1-2)=(-6,,3,,-1),
AC=|AC|=raiz(-6)^2+3^2+(-1)^2=raiz36+9+1=raiz46
Em seguida
BC=C-B=(-3-0,,2-(-4),,1-2)=(-3,,6,,-1),
BC=|BC|=raiz(-3)^2+6^2+(-1)^2=raiz9+36+1=raiz46

Passo 4

Como obtivemos AC=raiz46 e BC=raiz46, segue que AC=BC. Portanto, o triângulo ABC tem dois lados iguais e é isósceles.

Resposta

O triângulo ABC é isósceles, pois AC=BC.

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