Determine quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando sua resposta:
a) Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano PiX Y.
b) Se A, B e C são pontos coplanares e A, B e D são também coplanares, então A, B, C e D são coplanares.
c) Todo ponto do espaço diferente de um ponto P pertence a uma única esfera centrada em P.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de três afirmações em geometria do espaço:
  • (a) toda ponto pertence a um plano paralelo ao plano PiXY,
  • (b) se A,B,C são coplanares e A,B,D também, então A,B,C,D são coplanares,
  • (c) todo ponto do espaço diferente de um ponto P pertence a uma única esfera de centro P.
    Para resolver, vamos usar a definição de plano paralelo a PiXY, de coplanaridade (três pontos não-colineares definem um plano) e de esfera (conjunto dos pontos à distância fixa de um centro).

Passo 2

Analisando (a): um plano paralelo a PiXY é aquele cuja equação cartesiana pode ser escrita como
z = z0
para alguma constante z0. Dado um ponto genérico (x1,y1,z1), ele satisfaz a equação acima com z0 = z1. Logo existe um plano paralelo a PiXY que contém esse ponto. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): três pontos não-colineares A,B,C determinam um único plano Pi1. Se A,B,D são coplanares, eles determinam outro plano Pi2. Esses dois planos compartilham, no mínimo, a reta AB, mas nada garante que Pi1=Pi2. Um contraexemplo é
A=(0,0,0),;B=(1,0,0),;C=(0,1,0),;D=(0,0,1),
onde A,B,C ficam em z=0 e A,B,D em y=0. As retas AB coincidem, mas C e D não estão no mesmo plano. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): a esfera de centro P e raio r é o conjunto dos pontos Q tais que
PQ = r
Dado um ponto Qneq P, a distância r=PQ é única e positiva, portanto existe exatamente uma esfera de centro P passando por Q. Logo (c) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira

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