Determine quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando sua resposta:
a) Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano .
b) Se e são pontos coplanares e e são também coplanares, então e são coplanares.
c) Todo ponto do espaço diferente de um ponto pertence a uma única esfera centrada em .
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de três afirmações em geometria do espaço:
(a) toda ponto pertence a um plano paralelo ao plano ,
(b) se são coplanares e também, então são coplanares,
(c) todo ponto do espaço diferente de um ponto pertence a uma única esfera de centro .
Para resolver, vamos usar a definição de plano paralelo a , de coplanaridade (três pontos não-colineares definem um plano) e de esfera (conjunto dos pontos à distância fixa de um centro).
Passo 2
Analisando (a): um plano paralelo a é aquele cuja equação cartesiana pode ser escrita como
para alguma constante . Dado um ponto genérico , ele satisfaz a equação acima com . Logo existe um plano paralelo a que contém esse ponto. Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): três pontos não-colineares determinam um único plano . Se são coplanares, eles determinam outro plano . Esses dois planos compartilham, no mínimo, a reta , mas nada garante que Pi1=Pi2. Um contraexemplo é
A=(0,0,0),;B=(1,0,0),;C=(0,1,0),;D=(0,0,1),
onde A,B,C ficam em z=0 e A,B,D em y=0. As retas AB coincidem, mas C e D não estão no mesmo plano. Logo (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): a esfera de centro P e raio r é o conjunto dos pontos Q tais que
PQ = r
Dado um ponto Qneq P, a distância r=PQ é única e positiva, portanto existe exatamente uma esfera de centro P passando por Q. Logo (c) é verdadeira.