Considere a matriz
A=[ccc 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & -1 ]
Determine uma matriz P tal que P^-1 A P=D, onde D é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A triangular superior e pede uma matriz P que a diagonalize, ou seja, P^-1 A P = D com D diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes, que envolve encontrar autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = (1-lambda)^2,(-1-lambda),
logo os autovalores são
lambda1 = lambda2 = 1 e lambda3 = -1.

Passo 3

Para lambda = 1 resolvemos (A - I)x = 0. Tem-se
A - I = 0 & 0 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & -2 ,
que implica 2x3=0, logo x3=0 e x1,x2 são livres. Uma base do autovetores associados a lambda=1 é
v1 = 100, v2 = 010

Passo 4

Para lambda = -1 resolvemos (A + I)x = 0. Tem-se
A + I = 2 & 0 & 2 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 ,
que gera o sistema
2x1 + 2x3 = 0, 2x2 + 3x3 = 0
Tomando x3 = 2 obtemos x1 = -2 e x2 = -3, de onde um autovetor é
v3 = -2-32

Passo 5

Colocando os autovetores como colunas de P, definimos
P = 1 & 0 & -2 0 & 1 & -3 0 & 0 & 2 ,
e a matriz diagonal resultante é
D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
Verifica-se que P é invertível ( det P = 2neq0) e que P^-1 A P = D.

Resposta

P = 1 & 0 & -2 0 & 1 & -3 0 & 0 & 2

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