Dados o pontos A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2). Calcule a área do triângulo ABC.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em R^3: A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2). Pede a área do triângulo ABC. Vamos usar geometria analítica em 3D, representando os lados por vetores, calculando o produto vetorial e tirando metade do módulo desse produto.

Passo 2

Formamos os vetores a partir de A:
AB=(3-1,,2-2,,1-1)=(2,0,0),
AC=(1-1,,1-2,,2-1)=(0,-1,1)

Passo 3

O produto vetorial AB times AC gera um vetor perpendicular cujo módulo é a área do paralelogramo formado por AB e AC. Calculando o determinante
AB times AC = i & j & k 2 & 0 & 0 0 & -1 & 1 = (0,-2,-2)

Passo 4

O módulo desse vetor é
|(0,-2,-2)|=raiz0^2+(-2)^2+(-2)^2=raiz8=2raiz2
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo,
Área=tfrac12cdot 2raiz2=raiz2 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é raiz2.

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