Determine e interprete geometricamente o conjunto dos pontos equidistantes da origem e do ponto P=(1,0,0) que pertencem ao plano certical que passa pelos pontos A=(1,0,2) e B=(0,2,3).

Passo 1

O enunciado pede o conjunto dos pontos X=(x,y,z) que pertencem a um plano vertical determinado pelos pontos A=(1,0,2) e B=(0,2,3) e que satisfazem |X|=|X-P| com P=(1,0,0). Para resolver, vamos (i) achar a equação desse plano vertical, (ii) achar a equação do lugar geométrico de equidistância de O e P, e (iii) intersectar essas duas superfícies.

Passo 2

Um plano é “vertical” se for paralelo ao eixo z, ou seja, seu vetor normal tem componente z nula. O vetor diretor de AB é
B - A = (-1,;2,;1),
e um vetor paralelo ao eixo z é (0,0,1). O normal do plano é o produto vetorial
n ;=;(0,0,1)times(-1,2,1) ;=;(0cdot1-1cdot2,;1cdot(-1)-0cdot1,;0cdot2-0cdot(-1)) ;=;(-2,,-1,,0)
Podemos usar n=(2,1,0) (mesma direção). Então a equação do plano em A é
(2,1,0)cdot(x-1,y-0,z-2)=0 ;Longrightarrow; 2(x-1)+1cdot y=0 ;Longrightarrow; 2x+y=2

Passo 3

O lugar geométrico dos pontos equidistantes da origem O e de P=(1,0,0) é dado por
|X|^2 = |X-P|^2 ;Longrightarrow; x^2+y^2+z^2 = (x-1)^2+y^2+z^2 ;Longrightarrow; 0 = -2x+1 ;Longrightarrow; x = tfrac12
Logo esse lugar é o plano vertical x=tfrac12.

Passo 4

Para encontrar a interseção, resolvemos simultaneamente
x = tfrac12, 2x + y = 2
Substituindo x=tfrac12 em 2x+y=2
1 + y = 2 ;Longrightarrow; y = 1
Assim a interseção é a reta
(x,y,z)mid x=tfrac12,;y=1,;zinR

Passo 5

Geometricamente, obtemos uma reta vertical (paralela ao eixo z) que fica na interseção dos dois planos. Ela passa pelo ponto l(tfrac12,1,0r) e sobe/ desce ao longo do eixo z.

Resposta

O conjunto procurado é a reta
l(x,y,z)mid x=tfrac12,;y=1,;zinRr,
ou em forma paramétrica
(x,y,z)=l(tfrac12,1,tr), tinR

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