Determine e interprete geometricamente o conjunto dos pontos equidistantes da origem e do ponto que pertencem ao plano certical que passa pelos pontos e .
Passo 1
O enunciado pede o conjunto dos pontos que pertencem a um plano vertical determinado pelos pontos e e que satisfazem com . Para resolver, vamos (i) achar a equação desse plano vertical, (ii) achar a equação do lugar geométrico de equidistância de e , e (iii) intersectar essas duas superfícies.
Passo 2
Um plano é “vertical” se for paralelo ao eixo , ou seja, seu vetor normal tem componente nula. O vetor diretor de é
e um vetor paralelo ao eixo é . O normal do plano é o produto vetorial
Podemos usar (mesma direção). Então a equação do plano em é
Passo 3
O lugar geométrico dos pontos equidistantes da origem e de é dado por
Logo esse lugar é o plano vertical .
Passo 4
Para encontrar a interseção, resolvemos simultaneamente
Substituindo x=tfrac12 em 2x+y=2 dá
1 + y = 2 ;Longrightarrow; y = 1
Assim a interseção é a reta
(x,y,z)mid x=tfrac12,;y=1,;zinR
Passo 5
Geometricamente, obtemos uma reta vertical (paralela ao eixo z) que fica na interseção dos dois planos. Ela passa pelo ponto l(tfrac12,1,0r) e sobe/ desce ao longo do eixo z.