Calculando-se a integral definida integral0^a raiz(a^2-x^2)^3 d x, a>0, podemos usar a mudança de variável x=a cdot sen theta, com theta variando no primeiro quadrante. Por esta mudança de variável, a integral definida transforma-se na expressāo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida para resolver:
integral0^a raiz(a^2-x^2)^3 , dx, a > 0
O conteúdo que vamos usar aqui envolve integração com substituição trigonométrica. A ideia é simplificar a expressão dentro da raiz usando uma substituição que envolve funções trigonométricas, facilitando assim a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
x = a cdot sin theta
Com essa mudança, precisamos também calcular o diferencial dx . Derivando ambos os lados em relação a theta :
dx = a cdot cos theta , dtheta
Além disso, vamos ajustar os limites de integração. Quando x = 0 :
0 = a cdot sin theta Rightarrow theta = 0
E quando x = a :
a = a cdot sin theta Rightarrow sin theta = 1 Rightarrow theta = pi2

Passo 3

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral0^a raiz(a^2-x^2)^3 , dx = integral0^pi2 raiz(a^2 - a^2 sin^2 theta)^3 cdot a cos theta , dtheta

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
a^2 - a^2 sin^2 theta = a^2 (1 - sin^2 theta) = a^2 cos^2 theta
Então,
raiz(a^2 cos^2 theta)^3 = raiza^6 cos^6 theta = a^3 cos^3 theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral0^pi2 a^3 cos^3 theta cdot a cos theta , dtheta = a^4 integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta
Para resolver isso, usamos uma fórmula padrão de integrais de potências de cosseno:
integral cos^2n theta , dtheta = 2n-12n cdot integral cos^2(n-1) theta , dtheta
Aplicando isso para n = 2 :
integral cos^4 theta , dtheta = 34 cdot integral cos^2 theta , dtheta
E sabemos que:
integral cos^2 theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4 + C
Aplicando os limites de 0 a pi2 :
integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta = 34 cdot [ theta2 + sin 2theta4 ]0^pi2 = 34 cdot ( pi4 ) = 3pi16

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
a^4 integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta = a^4 cdot 3pi16 = 3pi a^416

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
3pi a^416

Exercícios relacionados