Calculando-se a integral definida
, podemos usar a mudança de variável
, com
variando no primeiro quadrante. Por esta mudança de variável, a integral definida transforma-se na expressāo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida para resolver:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve integração com substituição trigonométrica. A ideia é simplificar a expressão dentro da raiz usando uma substituição que envolve funções trigonométricas, facilitando assim a resolução da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
Com essa mudança, precisamos também calcular o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Além disso, vamos ajustar os limites de integração. Quando
:
E quando
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral:
Para resolver isso, usamos uma fórmula padrão de integrais de potências de cosseno:
Aplicando isso para
:
E sabemos que:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Resposta
Portanto, o valor da integral definida é: