Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
y=ln x, y=1, x=1; em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
;y=ln x,;y=1 e ;x=1
em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou “washers”), em que, para cada posição x, montamos um disco de raio externo igual à função superior e subtraímos o furo de raio dado pela função inferior.

Passo 2

Primeiro identificamos os limites em x. A reta y=1 intersecta y=ln x quando
ln x = 1 Longrightarrow x = e
Como também temos a reta vertical x=1, a região fica compreendida entre x=1 e x=e, e para cada x nessa faixa, y varia de ln x (função de baixo) até 1 (função de cima).

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, o raio externo do disco em abscissa x é
R(x) = 1
e o raio interno (o “furo”) é
r(x) = ln x
O volume de um disco de espessura dx é
dV = pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pil[1^2 - (ln x)^2r],dx
Para obter o volume total, integramos de x=1 até x=e.

Resposta

V = pi integral1^e l[1 - (ln x)^2r],dx

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