Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
e
em torno do eixo . Vamos usar o método dos discos (ou “washers”), em que, para cada posição
, montamos um disco de raio externo igual à função superior e subtraímos o furo de raio dado pela função inferior.
em torno do eixo
Passo 2
Primeiro identificamos os limites em
. A reta
intersecta
quando
Como também temos a reta vertical
, a região fica compreendida entre
e
, e para cada
nessa faixa,
varia de
(função de baixo) até
(função de cima).
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, o raio externo do disco em abscissa
é
e o raio interno (o “furo”) é
O volume de um disco de espessura
é
Para obter o volume total, integramos de
até
.