Calcule a integral indefinida
integral ln (raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de ln(raizx) em relação a x . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que ln(raizx) pode ser reescrito usando uma propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b ln(a) . Aplicando isso:
ln(raizx) = ln(x^1/2) = 12 ln(x)
Então, a integral fica:
integral ln(raizx) , dx = integral 12 ln(x) , dx = 12 integral ln(x) , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular integral ln(x) , dx . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Vamos escolher:
u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
dv = dx Rightarrow v = x
Aplicando a fórmula:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à nossa integral original:
12 integral ln(x) , dx = 12 ( x ln(x) - x ) + C = x ln(x)2 - x2 + C
Podemos também fatorar 12 :
12 ( x ln(x) - x ) + C

Resposta

Portanto, a integral indefinida de ln(raizx) é:
integral ln(raizx) , dx = x ln(x)2 - x2 + C

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