Determine as derivadas panciais das funceés: f(x, y)=A x^3+3 B x^2 y+3 C x y^3+D y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) = A x^3 + 3 B x^2 y + 3 C x y^3 + D y^3 . Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que é notada por partial fpartial x . Para isso, tratamos y como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar cada termo de f em relação a x :
  1. A x^3 : A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2 , então temos 3A x^2 .
  2. 3 B x^2 y : Aqui, y é constante, então derivamos x^2 que dá 2x , multiplicado por 3By , resultando em 6B x y .
  3. 3 C x y^3 : Novamente, y^3 é constante, a derivada de x é 1 , então fica 3C y^3 .
  4. D y^3 : Como não há x nesse termo, a derivada é 0 .

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:
partial fpartial x = 3A x^2 + 6B x y + 3C y^3

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , denotada por partial fpartial y . Dessa vez, tratamos x como constante e derivamos cada termo em relação a y .

Passo 6

Vamos derivar cada termo de f em relação a y :
  1. A x^3 : Não há y neste termo, então a derivada é 0 .
  2. 3 B x^2 y : Derivando y , que dá 1 , multiplicado por 3B x^2 , resultando em 3B x^2 .
  3. 3 C x y^3 : Derivando y^3 , que dá 3y^2 , então temos 9C x y^2 .
  4. D y^3 : A derivada de y^3 é 3y^2 , multiplicado por D , ficando 3D y^2 .

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:
partial fpartial y = 3B x^2 + 9C x y^2 + 3D y^2

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) são:
partial fpartial x = 3A x^2 + 6B x y + 3C y^3
e
partial fpartial y = 3B x^2 + 9C x y^2 + 3D y^2

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