Resolva as equações diferenciais a seguir.
y^prime prime-y=e^2 x sin (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = e^2xsin(3x)
O que vamos precisar é (1) a solução geral da equação homogênea associada e (2) um particular para o termo não homogêneo usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Resolvemos primeiro a homogênea
y''-y=0
Sua equação característica é
r^2-1=0Longrightarrow r=pm1,
portanto a solução geral homogênea é
yh = C1e^x + C2e^-x

Passo 3

Para um particular, vamos usar o palpite
yp = e^2xl(Pcos(3x)+Qsin(3x)r),
pois o lado direito é da forma e^axsin(bx) com a=2 e b=3, e apm bi não coincide com os auto-valores pm1.

Passo 4

Sabemos que, para
yp = e^ax(Pcos bx + Qsin bx),
temos
yp''-yp = e^axl[(a^2-b^2-1)P + 2ab,Qr]cos(bx) + e^axl[(a^2-b^2-1)Q - 2ab,Pr]sin(bx)
Aqui a=2 e b=3, então
a^2 - b^2 - 1 = 4 - 9 - 1 = -6, 2ab = 12
Logo as condições para igualar a e^2xsin(3x) são
(-6P + 12Q)cos(3x) + l(-6Q - 12Pr)sin(3x) = 0cdotcos(3x) + 1cdotsin(3x)

Passo 5

Isso gera o sistema
-6P + 12Q = 0, -12P -6Q = 1
Da primeira equação vem 12Q=6P, ou seja Q=tfrac12P. Substituindo na segunda:
-12P -6l(tfrac12Pr)=1 Longrightarrow -12P -3P = 1 Longrightarrow -15P = 1 Longrightarrow P = -tfrac115,
e então
Q = -tfrac130
Assim
yp = e^2xl(-tfrac115cos(3x)-tfrac130sin(3x)r)

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yh com yp:
y = C1e^x + C2e^-x - tfrac115e^2xcos(3x) - tfrac130e^2xsin(3x)

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^-x - 115e^2xcos(3x) - 130e^2xsin(3x)

Exercícios relacionados