Calculando o \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{4-x^{2}}\right) obtemos:
а) \frac{-1}{6}
b) \frac{1}{\sqrt{3}}
c) 2 \sqrt{3}
d) 0
e) -1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{4-x^{2}},
que é uma indeterminação do tipo 0/0. O truque clássico aqui é usar o conjugado no numerador para “racionalizar” a expressão.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+5}+3:
\frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{4-x^{2}}\;\times\;\frac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} =\frac{(\sqrt{x^{2}+5})^{2}-3^{2}}{(4-x^{2})(\sqrt{x^{2}+5}+3)}.

Passo 3

No numerador (\sqrt{x^{2}+5})^{2}-3^{2} = x^{2}+5-9 = x^{2}-4. Então a fração vira
\frac{x^{2}-4}{(4-x^{2})(\sqrt{x^{2}+5}+3)}.
Como 4-x^{2}=-(x^{2}-4), isso simplifica para
-\,\frac{x^{2}-4}{(x^{2}-4)(\sqrt{x^{2}+5}+3)} =-\,\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}+3}.

Passo 4

Agora substituímos x=2 diretamente:
-\,\frac{1}{\sqrt{2^{2}+5}+3} =-\,\frac{1}{3+3} =-\frac{1}{6}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o resultado é a opção (a).

Resposta

(a) -\tfrac{1}{6}

Exercícios relacionados