Sobre a função
, definida em
, é correto afirmar que:
a) Tem máximo global em
e tem mínimo global em
.
b) Tem mínimo global em
e tem máximo global em
.
c) Não tem máximo global e tem mínimo global em
.
d) Não tem mínimo global e tem máximo global em
.
e) Não tem máximo nem mínimo globais.
a) Tem máximo global em
b) Tem mínimo global em
c) Não tem máximo global e tem mínimo global em
d) Não tem mínimo global e tem máximo global em
e) Não tem máximo nem mínimo globais.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pergunta sobre máximos e mínimos globais. Para resolver, vamos usar derivadas para achar extremos críticos e em seguida analisar o comportamento de
quando
.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira e achamos os pontos críticos:
Igualando a zero vem
Passo 3
Para classificar os pontos, usamos a derivada segunda:
Em
temos
logo
é mínimo local. Em
vale
, então verificamos o sinal de
em torno de
: tanto para
quanto para
,
, ou seja,
está sempre decrescendo passando por
, então
não é extremo (é ponto de inflexão horizontal).
Passo 4
Analisamos o comportamento de
no infinito: como o termo dominante é
, tem-se
Isso mostra que não há máximo global finito, já que
cresce sem limite. Por outro lado, o mínimo local em
é o menor valor que
atinge, e como nos extremos
, esse mínimo local é na verdade o mínimo global.
Resposta
(c)