Sobre a função f(x)=3 x^{4}-2 x^{3}, definida em \mathbb{R}, é correto afirmar que:
a) Tem máximo global em x=\frac{1}{2} e tem mínimo global em x=0.
b) Tem mínimo global em x=\frac{1}{2} e tem máximo global em x=0.
c) Não tem máximo global e tem mínimo global em x=\frac{1}{2}.
d) Não tem mínimo global e tem máximo global em x=0.
e) Não tem máximo nem mínimo globais.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^{4}-2x^{3}
definida em \mathbb{R} e pergunta sobre máximos e mínimos globais. Para resolver, vamos usar derivadas para achar extremos críticos e em seguida analisar o comportamento de f quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e achamos os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}-2x^{3}\bigr) =12x^{3}-6x^{2} =6x^{2}(2x-1).
Igualando a zero vem
6x^{2}(2x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=\frac12.

Passo 3

Para classificar os pontos, usamos a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{3}-6x^{2}\bigr) =36x^{2}-12x =12x(3x-1).
Em x=\tfrac12 temos
f''\bigl(\tfrac12\bigr) =12\cdot\tfrac12\,(3\cdot\tfrac12-1) =6\,(1{,}5-1) =6\cdot0{,}5>0,
logo x=\tfrac12 é mínimo local. Em x=0 vale f''(0)=0, então verificamos o sinal de f' em torno de 0: tanto para x<0 quanto para 0<x<\tfrac12, f'(x)<0, ou seja, f está sempre decrescendo passando por 0, então x=0 não é extremo (é ponto de inflexão horizontal).

Passo 4

Analisamos o comportamento de f no infinito: como o termo dominante é 3x^{4}, tem-se
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
Isso mostra que não há máximo global finito, já que f cresce sem limite. Por outro lado, o mínimo local em x=\tfrac12 é o menor valor que f atinge, e como nos extremos f\to+\infty, esse mínimo local é na verdade o mínimo global.

Resposta

(c)

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