Considere as funções f(x)=\frac{1}{1-x} e g(x)=\operatorname{sen} x. O domínio da função f \circ g é:
a) \mathbb{R}
b) [0,+\infty)
c) \mathbb{R}-\{-1,1\}
d) (-\infty, 0]
e) \left\{x \in \mathbb{R} / x \neq \frac{\pi}{2}+2 k \pi ; k \in \mathbb{Z}\right\}

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x)=\frac{1}{1-x}
e
g(x)=\operatorname{sen} x
e pede o domínio da composição f\circ g.
Conteúdo: domínio de função composta e restrição de denominador.

Passo 2

Escrevendo a composição, temos
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\frac{1}{1 - g(x)}=\frac{1}{1 - \operatorname{sen} x}.

Passo 3

Primeiro, g(x)=\operatorname{sen} x está bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo não há restrição vinda de g.

Passo 4

O único problema está no denominador de f: não podemos ter
1 - \operatorname{sen} x = 0,
pois \tfrac{1}{0} é indefinido.

Passo 5

Resolvendo
1 - \operatorname{sen} x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} x = 1.
Sabemos que \operatorname{sen} x = 1 quando
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Portanto, o domínio de f\circ g é todo \mathbb{R} exceto esses pontos, ou seja
\bigl\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\bigr\}.

Resposta

\displaystyle \left\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right\} (alternativa e)

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