A equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x)=\frac{e^{x}}{2 x+1}
no ponto (0,1) é:
a) y-x+1=0
b) y+x-1=0
c) 2 y+x+1=0
d) 2 y-x-1=0
e) y+2 x-1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{e^{x}}{2x+1}
e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto (0,1).
O conteúdo principal aqui é derivada de quociente e a fórmula da reta tangente
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\,(x - x_{0})\,.

Passo 2

Para obter f'(x) usamos a regra do quociente: sejam u(x)=e^{x} e v(x)=2x+1, então u'(x)=e^{x} e v'(x)=2. Logo,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{e^{x}(2x+1)-e^{x}\cdot2}{(2x+1)^{2}} =\frac{e^{x}(2x-1)}{(2x+1)^{2}}.

Passo 3

A inclinação da tangente em x_{0}=0 é
f'(0) =\frac{e^{0}(2\cdot0-1)}{(2\cdot0+1)^{2}} =\frac{1\cdot(-1)}{1} =-1.
Como f(0)=1, a reta tangente satisfaz
y-1=(-1)(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y-1=-x \quad\Longrightarrow\quad y+x-1=0.

Resposta

b) y+x-1=0

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