Calculando o \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}\right) obtemos:
Rascunho
а) \frac{1}{2 \sqrt{2}}
b) \frac{1}{\sqrt{2}}
c) 2 \sqrt{2}
d) \sqrt{2}
e) 1

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}}{x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de expressão que resulta em forma \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de \sqrt{x+2}-\sqrt{2}, que é \sqrt{x+2}+\sqrt{2}. Assim,
\frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}}{x} = \frac{\bigl(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}\bigr)\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\bigr)}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\bigr)} = \frac{(x+2)-2}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\bigr)}.
No numerador, (x+2)-2 = x.

Passo 3

Substituindo (x+2)-2 = x, obtemos
\frac{x}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}.
Agora basta tomar o limite quando x \to 0:

Passo 4

\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}

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