O valor da derivada da função
f(x)=\operatorname{arctg}(x)-\operatorname{sen}\left(1-x^{2}\right)
em x=1 é:
a) \frac{1}{2}
b) 1
c) \frac{5}{2}
d) 0
е) \frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=\operatorname{arctg}(x)-\operatorname{sen}\bigl(1-x^{2}\bigr)
e pede f'(1). Para isso, vamos usar as derivadas de \operatorname{arctg}(x) e de \operatorname{sen}(u) com a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando termo a termo:
– A derivada de \operatorname{arctg}(x) é
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(x)\bigr]=\frac{1}{1+x^{2}}.
– A derivada de \operatorname{sen}\bigl(1-x^{2}\bigr) pela regra da cadeia é
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(1-x^{2})\bigr] =\cos\bigl(1-x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(1-x^{2}) =\cos\bigl(1-x^{2}\bigr)\cdot(-2x).
Como em f(x) esse termo aparece com menos, juntando tudo temos
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}- \bigl(-2x\cos(1-x^{2})\bigr) =\frac{1}{1+x^{2}}+2x\cos\bigl(1-x^{2}\bigr).

Passo 3

Agora basta avaliar em x=1:
\frac{1}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}, \qquad 2\cdot1\cdot\cos\bigl(1-1^{2}\bigr)=2\cos(0)=2.
Logo
f'(1)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.

Resposta

\dfrac{5}{2} (alternativa c) )

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