A equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x)=\frac{2 x}{1-3 x}
no ponto (1,-1) é:
a) 2 y-x+3=0
b) 2 y-5 x+8=0
c) 2 y-3 x+1=0
d) 2 y+x+1=0
e) -2 y+3 x-5=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\frac{2x}{1-3x}
no ponto (1,-1). Para isso precisamos calcular a derivada f'(x) (usando a regra do quociente) e depois usar a forma ponto-inclinação da reta:
y - y_0 = f'(x_0)\,(x - x_0).

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em
f(x)=\frac{2x}{1-3x}
temos
f'(x) = \frac{2\,(1-3x) - 2x\,(-3)}{(1-3x)^2} = \frac{2 -6x +6x}{(1-3x)^2} = \frac{2}{(1-3x)^2}.

Passo 3

Avaliaremos em x_0=1:
f'(1)=\frac{2}{(1-3\cdot1)^2}=\frac{2}{(-2)^2}=\frac{2}{4}=\tfrac12.
Usando ponto (1,-1) na forma ponto-inclinação:
y - (-1)=\tfrac12\,(x -1) \quad\Longrightarrow\quad y +1 = \tfrac12(x -1).

Passo 4

Multiplicando por 2 e reorganizando em forma geral:
2y +2 = x -1 \quad\Longrightarrow\quad 2y - x +3 = 0.
Essa é a opção (a).

Resposta

(a) 2y – x +3=0

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