Resolvendo o limite
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{e^{2 x}-x^{2}-2 x-1}
obtemos:
a) -1
b) 0
c) 1
d) +\infty
e) -\infty

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x\operatorname{sen} x}{e^{2x}-x^2-2x-1}.
O conteúdo principal é usar séries de Taylor em torno de x=0 para aproximar tanto o numerador quanto o denominador e, assim, identificar a ordem dos termos principais.

Passo 2

Expandimos o numerador usando a série de Taylor de \operatorname{sen} x:
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
Multiplicando por x,
x\operatorname{sen} x = x\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\Bigr) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6).

Passo 3

Agora expandimos o denominador. Primeiro, a série de Taylor de e^{2x} é
e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{6} + O(x^4) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + O(x^4).
Subtraindo x^2+2x+1, obtemos
e^{2x}-x^2-2x-1 =\bigl(1+2x+2x^2+\tfrac{4x^3}{3}+O(x^4)\bigr) -\bigl(1+2x+x^2\bigr) = x^2 + \frac{4x^3}{3} + O(x^4).

Passo 4

Reescrevendo a fração com as aproximações:
\frac{x\operatorname{sen} x}{e^{2x}-x^2-2x-1} \approx \frac{x^2\bigl(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\bigr)} {x^2\bigl(1 + \frac{4x}{3} + O(x^2)\bigr)} =\frac{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)}{1 + \frac{4x}{3} + O(x^2)}.
Ao levar x\to0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 1, logo o quociente tende a 1.

Resposta

c) 1

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