Calculando \lim _{x \rightarrow-2}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{1 /(x+2)}, obtemos:
Escolha uma opção:
a) e^{2}
b) e
C) e^{-1}
d) -1
e) 1

Passo 1

O enunciado pede
L=\lim_{x\to -2}\Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^{\tfrac{1}{x+2}}
e observamos que, ao fazermos x\to -2, a base \frac{x^2}{4}\to1 e o expoente \frac1{x+2}\to\pm\infty. Isso é a forma indeterminada 1^\infty. A estratégia é escrever
L=\exp\bigl(\ln L\bigr)
e calcular o limite do logaritmo.

Passo 2

Definindo L como acima, temos
\ln L=\lim_{x\to -2}\frac{\ln\!\bigl(x^2/4\bigr)}{x+2}.
Note que quando x\to -2 tanto o numerador \ln(x^2/4)\to\ln1=0 quanto o denominador \to0, ou seja, é uma forma \tfrac{0}{0}. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital,
\ln L =\lim_{x\to -2}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x^2/4)}{\frac{d}{dx}(x+2)} =\lim_{x\to -2}\frac{\frac{2x}{x^2}}{1} =\lim_{x\to -2}\frac{2}{x} =-1.
Logo L=\exp(\ln L)=\exp(-1)=e^{-1}.

Resposta

(c) \displaystyle e^{-1}

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