Encontre uma representação em série de potências para a função f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} e use derivação para encontrar uma representação em série de potências para a função f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right). Determine seus intervalos de convergência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro obter uma série de potências centrada em zero para
f(x)=\frac{x}{1+x^2}
e depois usar a relação
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+x^2\bigr)=\frac{2x}{1+x^2}
para, a partir dessa série, achar uma série de potências para
\ln\bigl(1+x^2\bigr).
O conteúdo usado será desenvolvimento em série geométrica, derivação e integração termo a termo.

Passo 2

Para a série de \frac{x}{1+x^2} escrevemos
\frac{x}{1+x^2} = x\cdot\frac{1}{1+(-x^2)}
e usamos a expansão da série geométrica \frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n com u=-x^2. Obtemos
\frac{x}{1+x^2} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+1}.
O raio de convergência é dado por |u|<1, ou seja |x^2|<1 e portanto |x|<1.

Passo 3

Sabendo que
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+x^2\bigr) =\frac{2x}{1+x^2},
multiplicamos a série do passo anterior por 2:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+x^2\bigr) =2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+1}.
O intervalo de convergência continua |x|<1.

Passo 4

Integramos termo a termo para recuperar \ln(1+x^2):
\ln\bigl(1+x^2\bigr) = C + \int 2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+1}\,dx = C + 2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2} = C + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{n+1}.
Para determinar C, fazemos x=0: o lado esquerdo é \ln1=0 e o somatório some zero, logo C=0.

Passo 5

Fazendo a mudança de índice m=n+1, obtemos
\ln\bigl(1+x^2\bigr) =\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\,\frac{x^{2m}}{m}.
O raio de convergência é |x|<1. Nos extremos x=\pm1 a série fica \sum_{m=1}^\infty(-1)^{m-1}/m, que converge (é a série alternada de Leibniz), tendo valor \ln2.

Resposta

Para \displaystyle\frac{x}{1+x^2}
\frac{x}{1+x^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n+1}, \quad |x|<1.
Para \displaystyle\ln(1+x^2)
\ln(1+x^2) =\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{x^{2m}}{m}, \quad |x|<1,
com convergência também em x=\pm1.

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