Encontre uma representação em série de potências para a função
e use derivação para encontrar uma representação em série de potências para a função
. Determine seus intervalos de convergência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro obter uma série de potências centrada em zero para
e depois usar a relação
para, a partir dessa série, achar uma série de potências para
O conteúdo usado será desenvolvimento em série geométrica, derivação e integração termo a termo.
Passo 2
Para a série de
escrevemos
e usamos a expansão da série geométrica
com
. Obtemos
O raio de convergência é dado por
, ou seja
e portanto
.
Passo 3
Sabendo que
multiplicamos a série do passo anterior por 2:
O intervalo de convergência continua
.
Passo 4
Integramos termo a termo para recuperar
:
Para determinar
, fazemos
: o lado esquerdo é
e o somatório some zero, logo
.
Passo 5
Fazendo a mudança de índice
, obtemos
O raio de convergência é
. Nos extremos
a série fica
, que converge (é a série alternada de Leibniz), tendo valor
.
Resposta
Para
Para
com convergência também em
.