Calculando \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{tg} 3 x)^{2 x}, obtemos:
Escolha uma opção:
a. 0
b. e^{-1}
C. e
d. -1
e. 1

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^+}\bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr)^{2x},
que é uma indeterminação do tipo 0^0. Para resolver, vamos usar a técnica de passar para a forma exponencial via logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0^+}\bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr)^{2x}.
Seja
y = \bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr)^{2x},
então \ln y = 2x\ln\bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr) e
L = \exp\Bigl(\lim_{x\to0^+}2x\ln\bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr)\Bigr).

Passo 3

Para x\to0^+, usamos a aproximação \operatorname{tg}(3x)\sim3x. Logo
\ln\bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr)=\ln(3x)+o(1)=\ln3+\ln x+o(1).
Portanto
2x\ln\bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr)=2x(\ln3+\ln x)+o(x) =2x\ln3+2x\ln x+o(x).

Passo 4

Calculamos os limites de cada termo:
\lim_{x\to0^+}2x\ln3=0, \qquad \lim_{x\to0^+}2x\ln x=0,
pois x\ln x\to0. Assim
\lim_{x\to0^+}2x\ln\bigl(\operatorname{tg}(3x)\bigr)=0
e, finalmente,
L = \exp(0)=1.

Resposta

1

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