Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo aqui envolve integrais impróprias e uso de simetria (paridade) da função para estudar convergência e valor.

Passo 2

Expressamos a integral como limite de uma integral em intervalo simétrico:
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Observamos que a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
é ímpar, pois
f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}+1}=-\frac{x}{x^{2}+1}=-f(x).

Passo 4

Para qualquer A>0, a integral de uma função ímpar em [-A,A] é zero, isto é,
\int_{-A}^{A}f(x)\,dx=0.
Portanto,
\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=0.

Resposta

0

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