Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{(2 x-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2x-3)^{2}}
verificando convergência. O conteúdo envolvido é inte­grais de funções racionais com possível singularidade onde o denominador zera. Note que em [0,1] temos 2x-3\in[-3,-1], nunca zero, logo a função é contínua no intervalo e a integral é propriamente dita (converge automaticamente).

Passo 2

Para calcular
\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2x-3)^{2}}
fazemos a substituição
u = 2x - 3,\quad du = 2\,dx,\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=-3; quando x=1, u=-1. Assim
\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2x-3)^{2}} = \int_{-3}^{-1} \frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{2} = \frac12 \int_{-3}^{-1} u^{-2}\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int u^{-2}\,du = -u^{-1}.
Logo
\frac12 \int_{-3}^{-1} u^{-2}\,du = \frac12 \Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{-3}^{-1} = \frac12\bigl((-(-1)^{-1}) -(-(-3)^{-1})\bigr) = \frac12\bigl(1 - \tfrac13\bigr) = \frac13.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

Exercícios relacionados