Calculando o limite
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-2 x^{7}+3 x^{6}+3 x+1}{x^{7}+12 x^{2}-x+4}
obtemos:
a) +\infty
b) 2
c) 0
d) -2
e) -\infty

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{-2x^{7}+3x^{6}+3x+1}{x^{7}+12x^{2}-x+4}.
O conteúdo aqui é comportamento de razão de polinômios quando x\to\pm\infty: basta comparar os coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Fatoramos x^{7} no numerador e no denominador para expor a parte dominante:
\frac{-2x^{7}+3x^{6}+3x+1}{x^{7}+12x^{2}-x+4} = \frac{x^{7}\Bigl(-2+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{6}}+\frac{1}{x^{7}}\Bigr)} {x^{7}\Bigl(1+\frac{12}{x^{5}}-\frac{1}{x^{6}}+\frac{4}{x^{7}}\Bigr)}.

Passo 3

Como x\to -\infty, todos os termos com \tfrac{1}{x^{k}} vão a zero. Então a fração tende a
\frac{-2+0+0+0}{1+0+0+0}=-2.

Resposta

d) -2

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