Determine o valor do limite
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x+e^{2 x}-2}{x^{2}-x}
а) -2
b) 2
c) 0
d) -1 / 2
e) 1

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\cos x + e^{2x} - 2}{x^2 - x},
que é uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar desenvolvimentos de Taylor de baixo grau em x para numerador e denominador.

Passo 2

Expandindo em torno de x=0:
\cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2} + O(x^4),
e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + O(x^3).
Logo, o numerador fica
\cos x + e^{2x} - 2 = \bigl(1 - \tfrac{x^2}{2} + O(x^4)\bigr) + \bigl(1 + 2x + 2x^2 + O(x^3)\bigr) - 2 = 2x + \tfrac{3}{2}x^2 + O(x^3).
E o denominador é
x^2 - x = -\,x + x^2.

Passo 3

Fatorando x em cima e embaixo,
\frac{\cos x + e^{2x} - 2}{x^2 - x} = \frac{x\bigl(2 + \tfrac{3}{2}x + O(x^2)\bigr)}{x\bigl(-1 + x\bigr)} = \frac{2 + \tfrac{3}{2}x + O(x^2)}{-1 + x}.

Passo 4

Ao fazer x\to0, o numerador tende a 2 e o denominador a -1, de modo que
\lim_{x\to0}\frac{2 + \tfrac{3}{2}x + O(x^2)}{-1 + x} = \frac{2}{-1} = -2.

Resposta

(a) -2

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