As questões de números 10 a 16 referem-se à função f definida por f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
Sobre as assíntotas de f, é correto afirmar que:
a) f não possui assíntotas verticais nem horizontais.
b) f possui uma assíntota vertical em x=0 e não possui assíntotas horizontais.
c) f possui uma assíntota horizontal em y=0 e não possui assíntotas verticais.
d) f possui uma assíntota horizontal em y=0 e uma assíntota vertical em x=0.
e) f possui assíntotas verticais em x=0 e x=1 e não possu assíntotas horizontais.

Passo 1

O enunciado trata da função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}
Precisamos identificar as assíntotas verticais (onde o limite da função tende a \pm\infty) e as assíntotas horizontais (onde o limite da função, quando x\to\pm\infty, é constante).

Passo 2

Determinar o domínio de f e os pontos onde o denominador se anula. O denominador é x^{2}, então f não está definida em x=0.
Logo, x=0 é candidato a assíntota vertical.

Passo 3

Calcular o limite de f(x) quando x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{x-1}{x^{2}} =\lim_{x\to0}\frac{-1+O(x)}{x^{2}} =-\infty.
Como o limite diverge para -\infty, há assíntota vertical em x=0.

Passo 4

Calcular o limite de f(x) quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x^{2}} =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(\frac1{x}-\frac1{x^{2}}\Bigr) =0.
Esse limite constante indica assíntota horizontal em y=0.

Resposta

d) f possui uma assíntota horizontal em y=0 e uma assíntota vertical em x=0.

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