Considere a função bijetiva f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\ln \left(e^{x}-1\right). Se g é a inversa de f, então g(0) vale:
a) 0
b) e
c) \ln 2
d) 2 \ln 2
e) 2 e

Passo 1

O enunciado define a função bijetiva f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} por
f(x)=\ln\bigl(e^{x}-1\bigr)
e pede g(0), onde g é a inversa de f. Logo, precisamos encontrar f^{-1}(y) e depois avaliar em y=0. Para isso, usamos propriedades de logaritmo e exponencial e a definição de função inversa.

Passo 2

Seja y=f(x)=\ln\bigl(e^{x}-1\bigr). Então
e^{y}=e^{x}-1 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}=e^{y}+1 \quad\Longrightarrow\quad x=\ln\bigl(e^{y}+1\bigr).
Portanto a inversa é
g(y)=f^{-1}(y)=\ln\bigl(e^{y}+1\bigr).

Passo 3

Basta agora avaliar em y=0:
g(0)=\ln\bigl(e^{0}+1\bigr)=\ln(1+1)=\ln(2).

Resposta

\ln 2 (alternativa c)

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