Seja b \in \mathbb{R}. Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x)=2 e^{x}+b
O valor de b para que a imagem de f seja (1,+\infty) pertence ao intervalo:
a) (-\infty,-9)
b) [-9,-5)
c) [-5,-1)
d) [-1,5)
e) [5,+\infty)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2e^{x}+b
com domínio \mathbb{R}. Precisamos achar o valor de b tal que a imagem de f seja exatamente (1,+\infty). Vamos usar o fato de que e^{x} varia em (0,+\infty).

Passo 2

Analisamos o termo 2e^{x}. Como e^{x} percorre todos os valores em (0,+\infty),
2e^{x}\quad\text{varia em}\quad(0,+\infty).
Somando b, a imagem de f é
\operatorname{Im}f=(b,+\infty).

Passo 3

Queremos que essa imagem seja (1,+\infty). Logo, devemos ter
(b,+\infty)=(1,+\infty),
o que implica b=1.

Passo 4

Verificamos em qual dos intervalos dados o valor b=1 pertence.
Dentre as opções
a) (-\infty,-9)
b) [-9,-5)
c) [-5,-1)
d) [-1,5)
e) [5,+\infty),
apenas em d) está contido o número 1.

Resposta

d) [-1,5)

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