Calculando o limite lim x → 5 x 2 − 7 x + 10 x 2 − 9 x + 20 , encontramos:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 5 da função x . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, mais especificamente limites de funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Vamos precisar fatorar os polinômios no numerador e no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador $ x^2 - 7x + 10 $. A gente procura dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -5 e -2. Então, o numerador fatorado fica:
x^2 - 7x + 10

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador $ x^2 - 9x + 20 $. Da mesma forma, procuramos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão -9. Esses números são -5 e -4. Então, o denominador fatorado fica:
x^2 - 9x + 20

Passo 4

Substituindo os fatores na expressão original, temos:
x^2 - 7x + 10x^2 - 9x + 20 = (x - 5)(x - 2)(x - 5)(x - 4)
Aí, a gente vê que o termo $ (x - 5) $ está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que $ x \neq 5 $, o que é válido para calcular o limite).

Passo 5

Com o fator $ (x - 5) $ cancelado, a expressão simplificada fica:
(x - 5)
Agora, podemos calcular o limite substituindo $ x $ por 5 diretamente na expressão simplificada.

Passo 6

Substituindo $ x = 5 $ na expressão simplificada:
x = 5

Resposta

O limite é igual a 3.

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