Calculando o limite lim x → 5 x 2 − 7 x + 10 x 2 − 9 x + 20 , encontramos:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 5 da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, mais especificamente limites de funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Vamos precisar fatorar os polinômios no numerador e no denominador para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador $ x^2 - 7x + 10 $. A gente procura dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -5 e -2. Então, o numerador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador $ x^2 - 9x + 20 $. Da mesma forma, procuramos dois números que multiplicados dão 20 e somados dão -9. Esses números são -5 e -4. Então, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Substituindo os fatores na expressão original, temos:
Aí, a gente vê que o termo $ (x - 5) $ está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que $ x \neq 5 $, o que é válido para calcular o limite).
Passo 5
Com o fator $ (x - 5) $ cancelado, a expressão simplificada fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo $ x $ por 5 diretamente na expressão simplificada.
Passo 6
Substituindo $ x = 5 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a 3.