Se um tanque mantem 5.000 galoes de agua que escoa pelo fundo em 40 minutos, entao a lei de torrecelli v=5.000(-1 - T)² ^40 0< T<40 DA 0 VOLUME de v de agua em galoes que restou no tanque depois de t minutos.
v=5.000 (1- t)²^40
dv/dt= -2/40 . 5000 (1-2/40)= 10000/40=240
DV/DT=-2/40.5000(1-2/40)= -250.(1-2/40)= -25/4
dv/DT(5)=25.35/4=875/4= -218,75
alguem pode me explicar essse exercicio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque que tem 5.000 galões de água e que essa água está escoando pelo fundo. A gente precisa descobrir quanto de água resta no tanque depois de certo tempo. Isso envolve a Lei de Torricelli, que é um conceito da física que descreve a velocidade com que um líquido sai de um recipiente. Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve o volume de água no tanque ao longo do tempo. A função dada é:
V(t) = 5000 (1 - t40)^2
Aqui, $ V(t) $ é o volume de água que resta no tanque após $ t $ minutos. A equação mostra que conforme o tempo passa, o volume diminui.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação desse volume em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dV}{dt} $. Isso nos diz o quão rápido a água está saindo do tanque.
Para derivar $ V(t) $, usamos a regra da cadeia. Vamos lá:
dVdt
Derivando em relação a $ t $:
V(t)

Passo 4

Simplificando a derivada:
dVdt = 5000 times 2 times (1 - t40) times (-140)
dVdt = -2 times 500040 (1 - t40)
dVdt = -1000040 (1 - t40)
dVdt = -250 (1 - t40)

Passo 5

Agora, vamos calcular a taxa de variação no tempo $ t = 5 $ minutos:
t = 5
dVdtg|t=5 = -250 (1 - 540)
dVdtg|t=5 = -250 (1 - 0.125)
dVdtg|t=5 = -250 times 0.875 õ

Resposta

Depois de 5 minutos, o tanque está perdendo água a uma taxa de -218,75 galões por minuto.

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