Qual é o comprimento da curva y(t)=(et cost, et sent, et), 0≤ t ≤1?
Passo 1
Então, o que a gente tá vendo aqui é um problema de cálculo que pede para encontrar o comprimento de uma curva definidas por funções paramétricas. A curva dada é $ y(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t, e^t) $ e queremos descobrir o comprimento dela quando $ t $ varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica $ \mathbf{y}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $ de $ t = a $ a $ t = b $:
Essa fórmula basicamente calcula a soma infinitesimal das variações em cada direção ao longo da curva.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da nossa curva:
Agora, precisamos calcular as derivadas de cada uma dessas funções em relação a $ t $.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Para $ x(t) = e^t \cos t $:
Para $ y(t) = e^t \sin t $:
Para $ z(t) = e^t $:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Simplificando dentro da raiz:
Somando tudo:
Passo 7
Agora, vamos simplificar os termos:
Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
Passo 8
Voltando à integral:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral de $ e^t $:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos pelo $ \sqrt{3} $:
Resposta
O comprimento da curva é $ \sqrt{3} , (e - 1) $.