Qual é o comprimento da curva y(t)=(et cost, et sent, et), 0≤ t ≤1?

Passo 1

Então, o que a gente tá vendo aqui é um problema de cálculo que pede para encontrar o comprimento de uma curva definidas por funções paramétricas. A curva dada é $ y(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t, e^t) $ e queremos descobrir o comprimento dela quando $ t $ varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica $ \mathbf{y}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $ de $ t = a $ a $ t = b $:
y(t) = (x(t), y(t), z(t))
Essa fórmula basicamente calcula a soma infinitesimal das variações em cada direção ao longo da curva.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da nossa curva:
x(t) = e^t cos t
y(t) = e^t sin t
z(t) = e^t
Agora, precisamos calcular as derivadas de cada uma dessas funções em relação a $ t $.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Para $ x(t) = e^t \cos t $:
x(t) = e^t cos t
Para $ y(t) = e^t \sin t $:
dxdt = e^t cos t - e^t sin t = e^t (cos t - sin t)
Para $ z(t) = e^t $:
y(t) = e^t sin t

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral0^1 raiz(e^t (cos t - sin t))^2 + (e^t (sin t + cos t))^2 + (e^t)^2 , dt
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
(e^t (cos t - sin t))^2 = e^2t (cos^2 t - 2 cos t sin t + sin^2 t)
(e^t (sin t + cos t))^2 = e^2t (sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t)
(e^t)^2 = e^2t
Somando tudo:
e^2t (cos^2 t - 2 cos t sin t + sin^2 t) + e^2t (sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t) + e^2t

Passo 7

Agora, vamos simplificar os termos:
e^2t (cos^2 t + sin^2 t - 2 cos t sin t + sin^2 t + cos^2 t + 2 sin t cos t) + e^2t
Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
cos^2 t + sin^2 t = 1

Passo 8

Voltando à integral:
L = integral0^1 raiz3 e^2t , dt = integral0^1 e^t raiz3 , dt = raiz3 integral0^1 e^t , dt

Passo 9

Agora, resolvemos a integral de $ e^t $:
e^t

Passo 10

Finalmente, multiplicamos pelo $ \sqrt{3} $:
raiz3

Resposta

O comprimento da curva é $ \sqrt{3} , (e - 1) $.

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